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Question Number 115815 by Ar Brandon last updated on 28/Sep/20

Montrer que ∀(a,b,c)∈(R_+ ^∗ )^3 (1/(a^2 +bc))+(1/(b^2 +ac))+(1/(c^2 +ab))≤(1/2)((1/(ab))+(1/(bc))+(1/(ac)))

$$\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\:\forall\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in\left(\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ac}}\right) \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 29/Sep/20

We have: (1/(a^2 +bc))+(1/(b^2 +ac))+(1/(c^2 +ab))≤(1/2)((1/(ab))+(1/(bc))+(1/(ac))) ⇔(1/(a^2 +bc))+(1/(b^2 +ac))+(1/(c^2 +ab))≤((a+b+c)/(2abc))(1) Applying Cauchy′s inequality for two positive numbers we have: a^2 +bc≥2a(√(bc)),b^2 +ac≥2b(√(ac)) c^2 +ab≥2(√(ab)),it follows that L.H.S≤(1/(2a(√(bc))))+(1/(2b(√(ac))))+(1/(2c(√(ab)))) Hence,we just need prove that: (1/(2a(√(bc))))+(1/(2b(√(ac))))+(1/(2c(√(ab))))≤((a+b+c)/(2abc))(2) ⇔(1/( (√a)))+(1/( (√b)))+(1/( (√c)))≤((a+b+c)/( (√(abc)))) ⇔(√(ab))+(√(bc))+(√(ca))≤a+b+c ⇔2((√(ab))+(√(bc))+(√(ca)))≤2(a+b+c) ⇔((√a)−(√b))^2 +((√b)−(√c))^2 +((√c)−(√a))^2 ≥0 This inequality is always true ∀a,b,c>0.Hence,(2)is true infer (1)is true.Thus,the given inequality is proved.The equality ocurrs if and only if a=b=c.(Q.E.D)

$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ac}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2abc}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Applying}\:\mathrm{Cauchy}'\mathrm{s}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{for}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{positive}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bc}\geqslant\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}},\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ac}\geqslant\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}} \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ab}\geqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{ab}},\mathrm{it}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2c}\sqrt{\mathrm{ab}}} \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{we}\:\mathrm{just}\:\mathrm{need}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}\sqrt{\mathrm{bc}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2b}\sqrt{\mathrm{ac}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2c}\sqrt{\mathrm{ab}}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2abc}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{b}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{c}}}\leqslant\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\:\sqrt{\mathrm{abc}}} \\ $$$$\Leftrightarrow\sqrt{\mathrm{ab}}+\sqrt{\mathrm{bc}}+\sqrt{\mathrm{ca}}\leqslant\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{ab}}+\sqrt{\mathrm{bc}}+\sqrt{\mathrm{ca}}\right)\leqslant\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\sqrt{\mathrm{a}}−\sqrt{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{b}}−\sqrt{\mathrm{c}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{c}}−\sqrt{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{true} \\ $$$$\forall\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}>\mathrm{0}.\mathrm{Hence},\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{infer}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{true}.\mathrm{Thus},\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{inequality}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{proved}.\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{ocurrs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}.\left(\boldsymbol{\mathrm{Q}}.\boldsymbol{\mathrm{E}}.\boldsymbol{\mathrm{D}}\right) \\ $$

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