Question Number 113848 by deepraj123 last updated on 15/Sep/20 | ||
$$\mathrm{In}\:\mathrm{a}\:\bigtriangleup{ABC},\:\Sigma\:{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {B}\:−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {C}\right)\:= \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 16/Sep/20 | ||
$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\Sigma\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\right)= \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\:\right)+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}\right) \\ $$$$+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{sine}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=\mathrm{2R}\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B},\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \mathrm{sim}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into} \\ $$$$\mathrm{above}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\Sigma\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\right) \\ $$$$=\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}\right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B}\right)\right]. \\ $$$$\left(\mathrm{Put}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{A},\mathrm{y}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{B},\mathrm{z}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{C}\:\right) \\ $$$$=\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \left[\mathrm{x}\left(\mathrm{y}−\mathrm{z}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{z}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{z}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\right] \\ $$$$=\mathrm{4R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{xy}−\mathrm{xz}+\mathrm{yz}−\mathrm{yx}+\mathrm{zx}−\mathrm{zy}\right)=\mathrm{0} \\ $$ | ||