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Question Number 132327 by liberty last updated on 13/Feb/21

If the line { ((((x−1)/2)=((y+1)/3)=((z−1)/4))),((((x−3)/1)=((y−k)/2)=(z/1))) :} intersect . the value of k is

$$\:\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\begin{cases}{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{z}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\\{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{y}−\mathrm{k}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{1}}}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{intersect}\:.\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{k}\:\mathrm{is}\: \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 13/Feb/21

L_1 : i−j+k+λ(2i+3j+4k)=(1+2λ)i+(3λ−1)j+(4λ+1)k L_2 :3i+αj+μ(i+2j+k)=(3+μ)i+(α+2μ)j+k { ((1+2λ=3+μ)),((3λ−1=α+2μ)),((4λ+1=1)) :} ⇒ { ((λ=0)),((μ=−2)),((α=3)) :} k=α=3 and i−j+k is point of intersection

$$\mathrm{L}_{\mathrm{1}} :\:\mathrm{i}−\mathrm{j}+\mathrm{k}+\lambda\left(\mathrm{2i}+\mathrm{3j}+\mathrm{4k}\right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}\lambda\right)\mathrm{i}+\left(\mathrm{3}\lambda−\mathrm{1}\right)\mathrm{j}+\left(\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}\right)\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{L}_{\mathrm{2}} :\mathrm{3i}+\alpha\mathrm{j}+\mu\left(\mathrm{i}+\mathrm{2j}+\mathrm{k}\right)=\left(\mathrm{3}+\mu\right)\mathrm{i}+\left(\alpha+\mathrm{2}\mu\right)\mathrm{j}+\mathrm{k} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{1}+\mathrm{2}\lambda=\mathrm{3}+\mu}\\{\mathrm{3}\lambda−\mathrm{1}=\alpha+\mathrm{2}\mu}\\{\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}=\mathrm{1}}\end{cases}\:\:\Rightarrow\begin{cases}{\lambda=\mathrm{0}}\\{\mu=−\mathrm{2}}\\{\alpha=\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{k}=\alpha=\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{i}−\mathrm{j}+\mathrm{k}\:\mathrm{is}\:\mathrm{point}\:\mathrm{of}\:\mathrm{intersection} \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 15/Feb/21

let ((x−1)/2)=((y+1)/3)=((z−1)/4)=λ → { ((x=2λ+1)),((y=3λ−1)),((z=4λ+1)) :} let ((x−3)/1)=((y−k)/2)=(z/1)=ϑ → { ((x=ϑ+3)),((y=2ϑ+k)),((z=ϑ)) :} the line are intersect the we get { ((2λ+1=ϑ+3)),((3λ−1=2ϑ+k)),((4λ+1=ϑ)) :} ; → { ((ϑ=−5)),((2λ=3; λ=−(3/2))) :} then k = 3λ−2ϑ−1=−(9/2)+10−1=−(9/2)+9=(9/2)

$$\:\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{z}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\lambda\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{3}\lambda−\mathrm{1}}\\{\mathrm{z}=\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{y}−\mathrm{k}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{1}}=\vartheta\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}=\vartheta+\mathrm{3}}\\{\mathrm{y}=\mathrm{2}\vartheta+\mathrm{k}}\\{\mathrm{z}=\vartheta}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{are}\:\mathrm{intersect}\:\mathrm{the}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2}\lambda+\mathrm{1}=\vartheta+\mathrm{3}}\\{\mathrm{3}\lambda−\mathrm{1}=\mathrm{2}\vartheta+\mathrm{k}}\\{\mathrm{4}\lambda+\mathrm{1}=\vartheta}\end{cases}\:;\:\rightarrow\begin{cases}{\vartheta=−\mathrm{5}}\\{\mathrm{2}\lambda=\mathrm{3};\:\lambda=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{k}\:=\:\mathrm{3}\lambda−\mathrm{2}\vartheta−\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\mathrm{10}−\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\mathrm{9}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

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