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Question Number 127835 by bemath last updated on 02/Jan/21

If Π_(k=1) ^(10) cos (((kπ)/(11))) = −2^n , then n = ?

$$\:\mathrm{If}\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{10}} {\prod}}\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{11}}\right)\:=\:−\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:,\:\mathrm{then}\:\mathrm{n}\:=\:? \\ $$$$ \\ $$

Answered by liberty last updated on 02/Jan/21

let Y = cos x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x cos 7x cos 8x cos 9x cos 10x ; where x = (π/(11)) ⇒2Ysin x = sin 2x cos 2x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x cos 7x cos 8x cos 9x cos 10x ⇒2^2 Ysin x= sin 4x cos 3x cos 4x cos 5x cos 6x cos 7x cos 8x cos 9x cos 10x ⇒2^3 Ysin x = sin 8x cos 3x cos 5x cos 6x cos 7x cos 8x cos 9x cos 10x ⇒2^4 Ysin x=sin 16x cos 3x cos 5x cos 6x cos 7x cos 9x cos 10x note sin 16x=sin (((16π)/(11)))=sin (π+((5π)/(11)))=−sin 5x ⇒2^4 Ysin x=−sin 5x cos 3x cos 5x cos 6x cos 7x cos 9x cos 10x ⇒2^5 Ysin x=−sin 10x cos 3x cos 6x cos 7x cos 9x cos 10x ⇒2^6 Ysin x=−sin 20x cos 3x cos 6x cos 7x cos 9x note sin 20x=sin (π+((9π)/(11)))=−sin 9x ⇒2^6 Ysin x=sin 9x cos 3x cos 6x cos 7x cos 9x ⇒2^7 Ysin x=sin 18x cos 3x cos 6x cos 7x note sin 18x=sin (π+((7π)/(11)))=−sin 7x ⇒2^7 Ysin x=−sin 7x cos 3x cos 6x cos 7x ⇒2^8 Ysin x=−sin 14x cos 3x cos 6x note sin 14x=sin (π+((3π)/(11)))=−sin 3x ⇒2^9 Ysin x=sin 6x cos 6x ⇒2^(10) Ysin x = sin 12x ∴ Y = ((sin (π+(π/(11))))/(2^(10) sin ((π/(11))))) = ((−sin ((π/(11))))/(2^(10) sin ((π/(11))))) Y = −2^(−10) , we get n = −10.

$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{Y}\:=\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x}\:;\:\mathrm{where}\:\mathrm{x}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{11}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2Ysin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{8x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{8x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{4}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{16x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{16x}=\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{16}\pi}{\mathrm{11}}\right)=\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{11}}\right)=−\mathrm{sin}\:\mathrm{5x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{4}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{5}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{10x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{10x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{6}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{20x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x} \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{20x}=\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{11}}\right)=−\mathrm{sin}\:\mathrm{9x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{6}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{9x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{9x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{7}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{18x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x}\: \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{18x}=\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\mathrm{7}\pi}{\mathrm{11}}\right)=−\mathrm{sin}\:\mathrm{7x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{7}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{7x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{7x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{14x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x} \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{14x}=\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{11}}\right)=−\mathrm{sin}\:\mathrm{3x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}=\mathrm{sin}\:\mathrm{6x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \mathrm{Ysin}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{12x} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{Y}\:=\:\frac{\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\pi}{\mathrm{11}}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \:\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{11}}\right)}\:=\:\frac{−\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{11}}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{10}} \:\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{11}}\right)} \\ $$$$\:\:\mathrm{Y}\:=\:−\mathrm{2}^{−\mathrm{10}} \:,\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{n}\:=\:−\mathrm{10}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Commented by bemath last updated on 02/Jan/21

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Commented by bemath last updated on 02/Jan/21

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