Question Number 92605 by som(math1967) last updated on 08/May/20 | ||
$${If}\:\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{x}}}\:+\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}}\:=\mathrm{1} \\ $$$${find}\:{x} \\ $$ | ||
Commented by behi83417@gmail.com last updated on 08/May/20 | ||
$$\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)}{−\mathrm{x}}+\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\mathrm{3x} \\ $$$$\left(−\mathrm{1}<\mathrm{x}<\mathrm{1},\mathrm{x}\neq\mathrm{0},\mathrm{let}:\mathrm{x}=\mathrm{cos2t}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2c}^{\mathrm{2}} .\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{c}+\mathrm{2s}^{\mathrm{2}} .\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{s}=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{s}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}+\mathrm{s}\right)\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{cs}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}+\mathrm{s}\right)\left(\mathrm{c}−\mathrm{s}\right) \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{c}+\mathrm{s}=\mathrm{0}\Rightarrow\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{t}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\equiv\mathrm{x}=\mathrm{0}:\mathrm{not}\:\mathrm{ok}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cs}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{c}−\mathrm{s}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cs}+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{9}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cs}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{8c}^{\mathrm{2}} \mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2cs}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cs}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8}}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\:\:\mathrm{cs}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\Rightarrow\mathrm{sin2t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}=\mathrm{cos2t}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\:\:\mathrm{cs}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{sin2t}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{cos2t}=\mathrm{0}\:\left[\mathrm{not}\:\mathrm{ok}\right] \\ $$ | ||
Commented by Tony Lin last updated on 08/May/20 | ||
$${let}\:\sqrt{\mathrm{1}+{x}}={a},\sqrt{\mathrm{1}−{x}}={b},{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{a}}+\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{b}}=\mathrm{1} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} {b}+{b}^{\mathrm{2}} +{ab}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+{a}−{b}−{ab} \\ $$$$\mathrm{1}−{ab}\left({a}−{b}\right)−\left({a}−{b}\right)+{ab}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{ab}\right)\left[\mathrm{1}−\left({a}−{b}\right)\right]=\mathrm{0} \\ $$$${a}−{b}=\mathrm{1}\:{or}\:{ab}=−\mathrm{1}\left({false}\right) \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+{x}=\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{4}−\mathrm{4}{x} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}=\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${but}\:\frac{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}+\frac{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}}<\mathrm{0}\:\left(−\mathrm{5}\right) \\ $$$$\therefore{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Commented by som(math1967) last updated on 08/May/20 | ||
$${Thanks}\:{sir} \\ $$ | ||
Commented by som(math1967) last updated on 08/May/20 | ||
$${Thanks}\:{sir} \\ $$ | ||
Answered by MJS last updated on 08/May/20 | ||
$$−\mathrm{1}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{1}\wedge{x}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+{x}}\right)}{{x}}+\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−{x}}\right)}{{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} =\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{0}<{x}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$${x}=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{t} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{t}\:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{t}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} =\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{t} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{t}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} \:{t}\:−\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{t}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{t}\:={s}\wedge\mathrm{cos}\:{t}\:={c}\wedge{s}=\sqrt{\mathrm{1}−{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${c}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3}{c}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{c}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0} \\ $$$${c}={z}−\mathrm{1} \\ $$$${z}^{\mathrm{6}} −\mathrm{3}{z}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{z}^{\mathrm{4}} +{z}^{\mathrm{3}} =\mathrm{0} \\ $$$${z}^{\mathrm{3}} \left({z}−\mathrm{2}\right)\left({z}^{\mathrm{2}} −{z}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left({c}−\mathrm{1}\right)\left({c}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({c}^{\mathrm{2}} +{c}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{t}\:=\pm\mathrm{1}\vee\mathrm{cos}\:{t}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{only}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{t}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{t}\:={x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Commented by som(math1967) last updated on 08/May/20 | ||
$${Thank}\:{you}\:{sir} \\ $$ | ||
Commented by MJS last updated on 08/May/20 | ||
$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome} \\ $$$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{also}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{to}\:\mathrm{square}\:\mathrm{it}: \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} =\mathrm{3}{x} \\ $$$$\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}+\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} =\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{4}{x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{0}<{x}\leqslant\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Commented by som(math1967) last updated on 08/May/20 | ||
$${Nice}\:{sir}\:{thanks}\:{again} \\ $$ | ||