Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 167666 by LEKOUMA last updated on 22/Mar/22

I_n =∫(dx/(cos^n x)) Prove that I_n =((n−2)/(n−1))I_(n−2) +((sin x)/((n−1)cos^(n−1) x))

$${I}_{{n}} =\int\frac{{dx}}{\mathrm{cos}\:^{{n}} {x}} \\ $$$${Prove}\:{that} \\ $$$${I}_{{n}} =\frac{{n}−\mathrm{2}}{{n}−\mathrm{1}}{I}_{{n}−\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\:^{{n}−\mathrm{1}} {x}} \\ $$

Commented by peter frank last updated on 22/Mar/22

Reduction formular

$$\mathrm{Reduction}\:\mathrm{formular}\: \\ $$

Answered by chhaythean last updated on 22/Mar/22

Solution I_n =∫(dx/(cos^n x))=∫sec^n xdx =∫sec^(n−2) xsec^2 xdx let { ((u=sec^(n−2) x⇒du=(n−2)sec^(n−2) xtanxdx)),((dv=sec^2 xdx⇒v=tanx)) :} I_n =sec^(n−2) xtanx−(n−2)∫sec^(n−2) xtan^2 xdx =sec^(n−2) xtanx−(n−2)∫sec^n xdx+(n−2)∫sec^(n−2) dx I_n =sec^(n−2) xtanx−(n−2)I_n +(n−2)I_(n−2) I_n +(n−2)I_n =sec^(n−2) xtanx+(n−2)I_(n−2) (n−1)I_n =sec^(n−2) xtanx+(n−2)I_(n−2) I_n =(((1/(cos^(n−2) x))×((sinx)/(cosx)))/(n−1))+((n−2)/(n−1))I_(n−2) I_n =((n−2)/(n−1))I_(n−2) +((sinx)/(cos^(n−1) x(n−1))) true So determinant (((I_n =((n−2)/(n−1))I_(n−2) +((sinx)/((n−1)cos^(n−1) x)) is proved.)))

$$\mathrm{Solution} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}}=\int\mathrm{sec}^{\mathrm{n}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=\int\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xsec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\begin{cases}{\mathrm{u}=\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{du}=\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanxdx}}\\{\mathrm{dv}=\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx}\Rightarrow\mathrm{v}=\mathrm{tanx}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanx}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\int\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtan}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanx}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\int\mathrm{sec}^{\mathrm{n}} \mathrm{xdx}+\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\int\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanx}−\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanx}+\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\mathrm{sec}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{xtanx}+\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \mathrm{x}}×\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{true} \\ $$$$\mathrm{So}\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\mathrm{I}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{sinx}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{x}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{proved}.}\\\hline\end{array} \\ $$

Commented by LEKOUMA last updated on 22/Mar/22

Thanks

$${Thanks} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com