Question Number 195320 by Erico last updated on 30/Jul/23 | ||
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:+\infty} {t}^{−\mathrm{2}{t}} {sin}^{\mathrm{2}{n}} {tdt} \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\:\:\underset{\:\mathrm{0}} {\int}^{\:\pi} {e}^{−\mathrm{2}{t}} {sin}^{\mathrm{2}{n}} {t}\:{dt} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{I}_{\mathrm{n}} \underset{\infty} {\:\:\backsim\:\:}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{sh}\left(\pi\right)}\sqrt{\frac{\pi}{{n}}} \\ $$ | ||
Answered by witcher3 last updated on 31/Jul/23 | ||
$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{k}\pi} ^{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{t}−\mathrm{k}\pi=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{dt}=\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}−\mathrm{2k}\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\pi\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\mathrm{e}^{−\mathrm{2k}\pi} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}... \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{By}=\left[\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\pi} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{2ncos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}\right)\right]+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \left[−\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \right]\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \left[\left(−\mathrm{2n}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \right]\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{sin}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2t}} \mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{J}_{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{J}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \Leftrightarrow\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{0}} }=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{k}−\mathrm{i}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\frac{\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}\left(\mathrm{k}+\mathrm{i}\right)\left({k}−{i}\right)}=\frac{\left(\mathrm{2}{n}\right)!}{\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }.\frac{\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)=\mathrm{i}\Gamma\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\Gamma\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\pi\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\underset{−} {+}\mathrm{i}\right)\sim\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \mathrm{n}^{\mathrm{n}\underset{−} {+}\mathrm{i}} \\ $$$$\Gamma\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} \mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{J}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{J}_{\mathrm{0}} }\sim\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}.\mathrm{4}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}^{\mathrm{2n}} \mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} }{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}.\mathrm{e}^{−\mathrm{2n}} \mathrm{n}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{4}^{\mathrm{n}} }.\frac{\pi}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\mathrm{sh}\left(\pi\right)\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{0}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }{\mathrm{2sh}\left(\pi\right)}.\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2}\pi} }\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}.\sqrt{\frac{\pi}{\mathrm{2n}}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ 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