Question Number 24366 by Tinkutara last updated on 16/Nov/17 | ||
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{7}-\mathrm{element}\:\mathrm{set}\:{A}\:=\:\left\{{a},\:{b},\:{c},\right. \\ $$$$\left.{d},\:{e},\:{f},\:{g}\right\},\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{collection}\:{T}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}- \\ $$$$\mathrm{element}\:\mathrm{subsets}\:\mathrm{of}\:{A}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{each} \\ $$$$\mathrm{pair}\:\mathrm{of}\:\mathrm{elements}\:\mathrm{from}\:{A}\:\mathrm{occurs}\:\mathrm{exactly} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{subsets}\:\mathrm{of}\:{T}. \\ $$ | ||
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Nov/17 | ||
$$\underset{−} {\mathrm{Questions}\:\mathrm{imposed}} \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{such}\:\mathrm{collections} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{produced}? \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{3}-\mathrm{membered} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{sets}\:\mathrm{are}\:\mathrm{necessary}\:\mathrm{in}\:\mathrm{order} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{to}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{collection}\:\mathrm{acquiring}\:\mathrm{above} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{property}? \\ $$ | ||
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 17/Nov/17 | ||
$$\:\:.\underset{−} {\mathrm{Strategy}.} \\ $$$$\mathrm{Possible}\:\mathrm{pairs}: \\ $$$$\:\begin{pmatrix}{\mathrm{ab}}&{\mathrm{ac}}&{\mathrm{ad}}&{\mathrm{ae}}&{\mathrm{af}}&{\mathrm{ag}}\\{}&{\mathrm{bc}}&{\mathrm{bd}}&{\mathrm{be}}&{\mathrm{bf}}&{\mathrm{bg}}\\{}&{}&{\mathrm{cd}}&{\mathrm{ce}}&{\mathrm{cf}}&{\mathrm{cg}}\\{}&{}&{}&{\mathrm{de}}&{\mathrm{df}}&{\mathrm{dg}}\\{}&{}&{}&{}&{\mathrm{ef}}&{\mathrm{eg}}\\{}&{}&{}&{}&{}&{\mathrm{fg}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{Take}\:\mathrm{a}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{from}\:\mathrm{above}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{include}\:\mathrm{any}\:\mathrm{member}\:\mathrm{of}\:\mathrm{A}\left(\mathrm{other}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{than}\:\mathrm{members}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{pair}\right)\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{order}\:\mathrm{to}\:\mathrm{make}\:\mathrm{a}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{3}\:\mathrm{elements} \\ $$$$\mathrm{For}\:\mathrm{example}\:\mathrm{in}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{a},\mathrm{b}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can} \\ $$$$\mathrm{include}\:\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{e},\mathrm{f}\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{g}.\mathrm{Say}\:\mathrm{we}'\mathrm{ve} \\ $$$$\mathrm{made}\:\left\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right\}.\:\mathrm{From}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{three} \\ $$$$\mathrm{pairs}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{made}\:\mathrm{ab},\mathrm{bc}\:\mathrm{and}\:\mathrm{ac}. \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{cross}\:\mathrm{out}\:\mathrm{these}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{above} \\ $$$$\mathrm{table}\:\mathrm{of}\:\mathrm{pairs}.\mathrm{Next}\:\mathrm{take}\:\mathrm{another} \\ $$$$\mathrm{pair}\:\mathrm{which}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{crossed}\:\mathrm{out}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{include}\:\mathrm{an}\:\mathrm{element}\:\mathrm{in}\:\mathrm{it}\:\mathrm{in}\:\mathrm{such} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{way}\:\mathrm{that}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{three}\:\mathrm{pairs} \\ $$$$\mathrm{produced}\:\left(\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{three}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{elements}\right)\:\mathrm{are}\:\mathrm{new}\:\mathrm{i}-\mathrm{e}\:\mathrm{not}\: \\ $$$$\mathrm{crossed}\:\mathrm{out}.\:\mathrm{Go}\:\mathrm{on}\:\mathrm{till}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{above}\:\mathrm{table}\:\mathrm{cross}\:\mathrm{out}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{T}=\left\{\left\{\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right\},\left\{\mathrm{a},\mathrm{d},\mathrm{e}\right\},\left\{\mathrm{a},\mathrm{f},\mathrm{g}\right\},\left\{\mathrm{b},\mathrm{d},\mathrm{f}\right\},\right. \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{\mathrm{b},\mathrm{e},\mathrm{g}\right\},\left\{\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{g}\right\},\left\{\mathrm{c},\mathrm{e},\mathrm{f}\right\}\right\} \\ $$ | ||
Commented by Tinkutara last updated on 17/Nov/17 | ||
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$ | ||