Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Algebra Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Algebra      Next in Algebra      

Question Number 136749 by EDWIN88 last updated on 25/Mar/21

Given system equation     { ((x^2 +3xy+y^2 +1=0)),((x^3 +y^3 −7=0)) :} has solution   (x_1 ,y_1 ) &(x_2 ,y_2 ) for x,y∈R. Find the value  of x_1 ^2 .y_2  +x_2 ^2 .y_1 .

$$\mathrm{Given}\:\mathrm{system}\:\mathrm{equation}\: \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\mathrm{has}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)\:\&\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\in\mathbb{R}.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} .\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} .\mathrm{y}_{\mathrm{1}} .\: \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 25/Mar/21

x=u−v∧y=u+v   { ((5u^2 −v^2 +1=0 ⇒ v^2 =5u^2 +1)),((2u^3 +6uv^2 −7=0)) :}  2u^3 +6u(5u^2 +1)−7=0  u^3 +(3/(16))u−(7/(32))=0  u=(1/2)∨u=−(1/4)±((√6)/4)i  now it′s easy to complete

$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} −{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{v}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{uv}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{u}\left(\mathrm{5}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$${u}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{u}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}=\mathrm{0} \\ $$$${u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{u}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{4}}\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{complete} \\ $$

Answered by bramlexs22 last updated on 26/Mar/21

 { (((x+y)^2 +xy+1=0)),(((x+y)^3 −3xy(x+y)−7=0)) :}  set  { ((x+y=u)),((xy=w)) :}⇔  { ((u^2 +w+1=0)),((u^3 −3uw−7=0)) :}  substitute w=−u^2 −1  we get u^3 −3u(−u^2 −1)−7=0  ⇒ 4u^3 +3u−7=0  ⇒(u−1)(4u^2 +4u+7)=0  for 4u^2 +4u+7 = 0  rejected   we get u=1 ∧ w −2  so we find  { ((x+y=1)),((xy=−2)) :} ; y=1−x  substitute y=1−x gives  ⇒x(1−x)=−2 ; x^2 −x−2=0    (x−2)(x+1)=0   { ((x_1 =−1⇒y_1 =2)),((x_2 =2⇒y_2 =−1)) :}

$$\begin{cases}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{set}\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u}}\\{\mathrm{xy}=\mathrm{w}}\end{cases}\Leftrightarrow\:\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{w}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3uw}−\mathrm{7}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{substitute}\:\mathrm{w}=−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3u}\left(−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3u}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{4u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\:=\:\mathrm{0}\: \mathrm{rejected}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{u}=\mathrm{1}\:\wedge\:\mathrm{w}\:−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{xy}=−\mathrm{2}}\end{cases}\:;\:\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{substitute}\:\mathrm{y}=\mathrm{1}−\mathrm{x}\:\mathrm{gives} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)=−\mathrm{2}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$ \:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\: \begin{cases}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}}\\{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com