Question Number 100032 by bobhans last updated on 24/Jun/20 | ||
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:.\:\mathrm{find}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{function}\:\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$ | ||
Commented by john santu last updated on 24/Jun/20 | ||
$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{z}\:\Rightarrow\mathrm{xz}+\mathrm{z}\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{1}−\mathrm{z}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{similar}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:. \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{h}'\left(\mathrm{x}\right)=\:\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{\:\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{6}\:\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left\{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}−\mathrm{3}+\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{6}\:\right\}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{0}\:,\:\mathrm{critical}\:\mathrm{point}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{min}\:\mathrm{h}\left(\mathrm{3}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jun/20 | ||
$$\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{tx}\:+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{g}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{on}\:\mathrm{R}\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\infty} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=+\infty\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=^{'} \frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}\:+\mathrm{3}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{x}\:=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\mid\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{inc}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty\:\:\:\:+\infty\mathrm{decr}\:\:\mathrm{g}\left(\mathrm{3}\right)\:\:\:\:\mathrm{inc}\:\:\:\:\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{3}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{for}\:\mathrm{g} \\ $$ | ||