Question Number 197843 by a.lgnaoui last updated on 30/Sep/23
$$\boldsymbol{\mathrm{Exercice}}\:\:\mathrm{2} \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 30/Sep/23
Commented by witcher3 last updated on 07/Oct/23
![1,tout en puissance 2 (((2a+2(√(a^2 −b)))/(2(a+1))))=((2a+2(√1))/(2(a+1)))=1⇔0≤(((√(a−(√b)))+(√(a+(√b))))/( (√(2a+2))))=1 n^2 ≡0[3] 3∣n^2 ,3 est premier ⇒3∣n“p∣n.m avec n premier alors p∣n ou p∣m” Theorem de gause ic 3∣n.n⇒3∣n x^2 −x+1=(x−(1/2))+(3/4)≥(3/4) ⇒(1/((x^2 −x+1)))≤(4/3)⇒((√x)/(x^2 −x+1))≤(4/3)(√x) (√(4n^2 +5n+3))∈N⇔∃a∈N∣a^2 =4n^2 +5n+3 ⇔(2n+1)^2 +n+2=a^2 ⇒(a−2n−1)(a+2n+1)=n+2⇒ a>2n+1, car n+2≥0 ⇒a+2n+1≥4n+2 ⇒(a−2n−1)(a+2n+1)≥4n+2>n+2 ∀n>1 pour n=0(√3)∉N ⇒](Q197987.png)
$$\mathrm{1},\mathrm{tout}\:\mathrm{en}\:\mathrm{puissance}\:\mathrm{2} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}\right)=\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{0}\leqslant\frac{\sqrt{\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{b}}}+\sqrt{\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{b}}}}{\:\sqrt{\mathrm{2a}+\mathrm{2}}}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \equiv\mathrm{0}\left[\mathrm{3}\right] \\ $$$$\mathrm{3}\mid\mathrm{n}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{3}\:\mathrm{est}\:\mathrm{premier}\:\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{n}``\mathrm{p}\mid\mathrm{n}.\mathrm{m}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{n}\:\mathrm{premier}\:\mathrm{alors}\: \\ $$$$\mathrm{p}\mid\mathrm{n}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{p}\mid\mathrm{m}''\:\mathrm{Theorem}\:\mathrm{de}\:\mathrm{gause}\:\mathrm{ic}\:\mathrm{3}\mid\mathrm{n}.\mathrm{n}\Rightarrow\mathrm{3}\mid\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\leqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\Rightarrow\frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{x}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5n}+\mathrm{3}}\in\mathbb{N}\Leftrightarrow\exists\mathrm{a}\in\mathbb{N}\mid\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5n}+\mathrm{3} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{2}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{n}+\mathrm{2}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}>\mathrm{2n}+\mathrm{1},\:\mathrm{car}\:\mathrm{n}+\mathrm{2}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{2n}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{4n}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{a}−\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\geqslant\mathrm{4n}+\mathrm{2}>\mathrm{n}+\mathrm{2}\:\forall\mathrm{n}>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{n}=\mathrm{0}\sqrt{\mathrm{3}}\notin\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow \\ $$