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Question Number 140996 by mnjuly1970 last updated on 14/May/21

Evaluation of :: Ω :=Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(1+n^2 )) solution:: Ω:=1+Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 −i^2 )) =(1/(2i)){Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n−i))−(((−1)^n )/(n+i))} :=1+(1/(2i)) (Φ−Ψ) where Φ:=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n−i)) and Ψ :=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+i)) Φ:=Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n−k)) −Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n−1−i)) :=(1/2){Σ_(n=1) ^∞ (1/(n−(i/2)))−Σ_(n=1) ^∞ (1/(n−((1+i)/2)))} :=(1/2){ψ(1−((1+i)/2))−ψ(1−(i/2))} :=(1/2)(ψ(((1−i)/2))−ψ(1−(i/2))).... Ψ:=Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+i)) =Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n+i))−Σ_(n=1) ^∞ (1/(2n−1+i)) :=(1/2){Σ_(n=1) ^∞ (1/(n+(i/2)))−Σ_(n=1) ^∞ (1/(n+((i−1)/2)))} :=(1/2)(ψ(((1+i)/2))−ψ(1+(i/2))) .... Φ−Ψ:=(1/2){ψ(((1−i)/2))−ψ(((1+i)/2))} +(1/2){ψ(1+(i/2))−ψ(1−(i/2))} :=(1/2)(−πcotπ(((1−i)/2)))+(1/2)((2/i)−πcot(π(i/2))) :=−(π/2)tan(((πi)/2))−(π/2)cot(((πi)/2))−i :=−i−(π/(sin(πi)))=−i−((2iπ)/(e^(−π) −e^π )) :=−i+πicsch(π) .... Ω :=1+(1/(2i))(−i+πicsch(π))=(1/2)+(π/2) csch(π) ... Ω:=(1/2)+(π/2) csch(π)....✓✓✓

$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathscr{E}{valuation}\:{of}\:::\:\Omega\::=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{1}+{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{solution}:: \\ $$$$\:\:\:\:\:\Omega:=\mathrm{1}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} −{i}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}\left\{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}−{i}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+{i}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\::=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}\:\left(\Phi−\Psi\right)\:\:\:\:{where}\:\:\Phi:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}−{i}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{and}\:\:\:\:\Psi\::=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+{i}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Phi:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−{k}}\:−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}−{i}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\frac{{i}}{\mathrm{2}}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}−\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\psi\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\psi\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)\right).... \\ $$$$\:\:\:\:\Psi:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+{i}}\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+{i}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}+{i}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{{i}}{\mathrm{2}}}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{{i}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\psi\left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}+\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)\right)\:.... \\ $$$$\:\:\:\:\:\Phi−\Psi:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\psi\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\frac{\mathrm{1}+{i}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\psi\left(\mathrm{1}+\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}−\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\::=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\pi{cot}\pi\left(\frac{\mathrm{1}−{i}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}}{{i}}−\pi{cot}\left(\pi\frac{{i}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\::=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{tan}\left(\frac{\pi{i}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{cot}\left(\frac{\pi{i}}{\mathrm{2}}\right)−{i} \\ $$$$\:\:\:\::=−{i}−\frac{\pi}{{sin}\left(\pi{i}\right)}=−{i}−\frac{\mathrm{2}{i}\pi}{{e}^{−\pi} −{e}^{\pi} } \\ $$$$\:\:\:\::=−{i}+\pi{icsch}\left(\pi\right)\:.... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\Omega\::=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}}\left(−{i}+\pi{icsch}\left(\pi\right)\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:{csch}\left(\pi\right)\:... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:{csch}\left(\pi\right)....\checkmark\checkmark\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Answered by qaz last updated on 14/May/21

Σ_(n=0) ^∞ (((−x)^n )/(1+n^2 ))=(1/(1+(xD)^2 ))((1/(1+x)))=y ⇒y+(x^2 D^2 +xD)y=(1/(1+x)) ⇒y′′+(1/x)y′+(1/x^2 )y=(1/(x^2 (1+x))) solve this DE....

$$\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−{x}\right)^{{n}} }{\mathrm{1}+{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left({xD}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}\right)={y} \\ $$$$\Rightarrow{y}+\left({x}^{\mathrm{2}} {D}^{\mathrm{2}} +{xD}\right){y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}} \\ $$$$\Rightarrow{y}''+\frac{\mathrm{1}}{{x}}{y}'+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }{y}=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)} \\ $$$${solve}\:{this}\:{DE}.... \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 14/May/21

thank you mr qaz...

$$\:\:\:{thank}\:{you}\:{mr}\:{qaz}... \\ $$

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