Algebra Questions

Question Number 209357 by mnjuly1970 last updated on 08/Jul/24

$$\\$$$$\:\:\:\:\:\:{Evaluate}\:: \\$$$$\\$$$$\:\:\:\:\:\mathrm{B}_{{n}} =\:\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\prod}}\:\frac{\:{k}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \:+\:{k}\:−\mathrm{6}}=\:? \\$$

Answered by Spillover last updated on 08/Jul/24

$$\:\:\:\:\:\mathrm{B}_{{n}} =\:\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\prod}}\:\frac{\:\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\left({k}−\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{3}\right)} \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}+\mathrm{3}\right)}.\frac{\left(\mathrm{4}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{4}+\mathrm{3}\right)}.\frac{\left(\mathrm{5}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{5}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{5}+\mathrm{3}\right)}......\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}. \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}.\mathrm{4}}{\mathrm{1}.\mathrm{6}}.\frac{\mathrm{3}.\mathrm{5}}{\mathrm{2}.\mathrm{7}}.\frac{\mathrm{4}.\mathrm{6}}{\mathrm{3}.\mathrm{8}}......\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}.\mathrm{4}.\mathrm{3}.\mathrm{5}.\mathrm{4}.\mathrm{6}.....\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}.\mathrm{6}.\mathrm{2}.\mathrm{7}.\mathrm{3}.\mathrm{8}.....\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}.\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}.\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\$$$$\\$$

Commented by MM42 last updated on 08/Jul/24

$${for}\:{n}=\mathrm{5} \\$$$${B}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}×\mathrm{4}}{\mathrm{1}×\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{3}×\mathrm{5}}{\mathrm{2}×\mathrm{7}}×\frac{\mathrm{4}×\mathrm{6}}{\mathrm{3}×\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{7}}\neq\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{8}} \\$$$$\\$$

Answered by MM42 last updated on 08/Jul/24

$$\frac{{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} +{k}−\mathrm{6}}=\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\left({k}−\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{3}\right)} \\$$$${B}_{{n}} =\left(\frac{\mathrm{2}×\mathrm{4}}{\mathrm{1}×\mathrm{6}}\right)\left(\frac{\mathrm{3}×\mathrm{5}}{\mathrm{2}×\mathrm{7}}\right)\left(\frac{\mathrm{4}×\mathrm{6}}{\mathrm{3}×\mathrm{8}}\right)...\left(\frac{\left({n}−\mathrm{3}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{4}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}\right)\left(\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}\right)}{\left({n}−\mathrm{3}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\right)\left(\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)}\right) \\$$$$=\frac{\mathrm{4}×\mathrm{5}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{{n}\left({n}+\mathrm{3}\right)}\:\checkmark \\$$

Answered by 0670322918 last updated on 09/Jul/24

$$\\$$$$\:\:\:\:\:\:{Evaluate}\:: \\$$$$\\$$$$\:\:\:\:\:\mathrm{B}_{{n}} =\:\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\prod}}\:\frac{\:{k}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \:+\:{k}\:−\mathrm{6}}=\:? \\$$$${B}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\prod}}\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\left({k}−\mathrm{2}\right)\left({k}+\mathrm{3}\right)}=\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}}×\underset{{k}=\mathrm{3}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{2}}×\frac{{k}+\mathrm{2}}{{k}+\mathrm{3}}\right) \\$$$${B}_{{n}} =\left({n}−\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{4}}{{n}+\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{5}}{{n}+\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{20}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\left({n}+\mathrm{2}\right)\left({n}+\mathrm{3}\right)} \\$$