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Question Number 127291 by bemath last updated on 28/Dec/20 | ||
$$\:\left({D}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{D}−\mathrm{3}\right){y}\:=\:{e}^{\mathrm{2}{x}} \:\mathrm{cosh}\:{x} \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 28/Dec/20 | ||
$$\:{note}\:{that}\:{e}^{\mathrm{2}{x}} \:\mathrm{cosh}\:{x}\:=\:\frac{{e}^{\mathrm{3}{x}} +{e}^{{x}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${the}\:{diff}\:{eq}\:{becomes}\: \\ $$$$\left({D}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{D}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{D}−\mathrm{3}\right){y}\:=\:\frac{{e}^{\mathrm{3}{x}} +{e}^{{x}} }{\mathrm{2}}\: \\ $$$${the}\:{homogenous}\:{particular}\:{of}\:{eq}\:{i}.{e} \\ $$$$\Rightarrow{f}'''−\mathrm{5}{f}''+\mathrm{7}{f}'−\mathrm{3}=\mathrm{0}\: \\ $$$${take}\:{y}\:=\:{V}\left({x}\right){f}\left({x}\right)\:{and}\:{substitute}\:{in}\:{the} \\ $$$${eq}\:{we}\:{get}\:{V}'''−\mathrm{2}{V}''\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${this}\:{can}\:{be}\:{integrated}\:{twice}\:{to}\:{produce} \\ $$$${the}\:{first}\:{order}\:{V}'−\mathrm{2}{V}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{e}^{\mathrm{2}{x}} +{x}^{\mathrm{2}} +{C}_{\mathrm{1}} {x}+{C}_{\mathrm{2}} \\ $$$${the}\:{solution}\:{given}\:{by} \\ $$$${V}={e}^{\mathrm{2}{x}} \:\left[\int{e}^{−\mathrm{2}{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{e}^{\mathrm{2}{x}} +{x}^{\mathrm{2}} +{C}_{\mathrm{1}} {x}+{C}_{\mathrm{2}} \right){dx}+{C}_{\mathrm{3}} \:\right] \\ $$$${V}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{xe}^{\mathrm{2}{x}} +{C}_{\mathrm{3}} {e}^{\mathrm{2}{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} −{Ax}−{B}\: \\ $$$${where}\:{A}=\frac{{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:;\:{B}=\frac{{C}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}{C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:{y}\:=\:\left({C}_{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{x}\right){e}^{\mathrm{3}{x}} −\left({Ax}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} +{B}\right){e}^{{x}} .\: \\ $$ | ||
Answered by bemath last updated on 28/Dec/20 | ||
$${Characteristic}\:{equation}\: \\ $$$${r}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{r}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${has}\:{the}\:{roots}\:{r}=\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{2} \\ $$$${homogenous}\:{solution}\: \\ $$$${y}_{{h}} \:=\:\left({Ax}+{B}\right){e}^{{x}} +{Ce}^{\mathrm{3}{x}} \\ $$$$ \\ $$$${particular}\:{solution}\: \\ $$$${y}_{{p}} =\:{ax}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} +{bxe}^{\mathrm{3}{x}} \\ $$$${we}\:{get}\:\begin{cases}{−\mathrm{8}{a}=\mathrm{1}\Rightarrow{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}}\\{\mathrm{8}{b}=\mathrm{1}\Rightarrow{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}}\end{cases} \\ $$$${so}\:{particular}\:{solution}\:{is}\: \\ $$$${y}_{{p}} =\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{xe}^{\mathrm{3}{x}} \\ $$$$ \\ $$$${general}\:{solution}\:{is}\: \\ $$$${y}_{{g}} \:=\:\left({Ax}+{B}\right){e}^{{x}} +{Ce}^{\mathrm{3}{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{xe}^{\mathrm{3}{x}} \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Dec/20 | ||
$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} −\mathrm{5y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:+\mathrm{7y}^{\left(\mathrm{1}\right)} −\mathrm{3y}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{r}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{7r}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\:,\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{root}\:\: \\ $$$$\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{3r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10r}+\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{double}\:\mathrm{root} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}\left(\mathrm{r}\right)=\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{Q}\left(\mathrm{r}\right)=\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{r}+\mathrm{a}\right)\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\alpha\mathrm{x}+\beta\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:=\alpha\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:+\beta\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{c}\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{cu}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{3}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} \:\mid \\ $$$$=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:\:\:\:\:} \:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{9e}^{\mathrm{4x}} −\mathrm{3e}^{\mathrm{4x}} \right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{9e}^{\mathrm{4x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \right)+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{3e}^{\mathrm{4x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \right) \\ $$$$\left.=\left.\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{6e}^{\mathrm{4x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{8e}^{\mathrm{4x}} \:+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{2e}^{\mathrm{4x}} \right) \\ $$$$=\mathrm{6x}\:\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} −\mathrm{8}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} \\ $$$$=\left(\mathrm{6x}−\mathrm{8x}−\mathrm{8}+\mathrm{2x}+\mathrm{4}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} \:=−\mathrm{4e}^{\mathrm{5x}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}×\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2e}^{\mathrm{4x}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}\:\:\:\:\:}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:\:\:} \:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} \mid=\mathrm{e}^{\mathrm{7x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{5x}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\:\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}\:\:\:}\:\:\:\:\mathrm{9e}^{\mathrm{3x}} \mid \\ $$$$+\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \right)−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{6x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} \right) \\ $$$$=.... \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{3}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mid\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\mid=....\left(\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=.... \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=... \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{3}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=...\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} +\mathrm{u}_{\mathrm{3}} \mathrm{v}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$ | ||