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Question Number 216733 by josemanuelrios last updated on 17/Feb/25

Comparto otro reto de matematicas que dice literalmente: Hallar las ecuaciones de 3 circunferencias mutuamente tangentes y de radios los 3 iguales. Este reto depende en que cuadrante se representen las circunferencias yo use el primer cuadrante. Recordemos la ecuacion de la circunferencia es x^2 +y^2 =R^2 En donde tienen este significado: x es la abcisa eje horizontal. y es la ordenada eje vertical. R es el radio de la circunferencia. Claro esta circunferencia tiene su centro en el origen es decir: x=0 y=0 Ahora si deseamos representar la circunferencia desplazada a cierta distancia del origen con el centro en un nuevo punto en: x=h y=k tendremos que utilizar esta nueva ecuacion: (x−h)^2 + (y−k)^2 = R^2 Yo utilizo la aplicacion Geogebra 2D y 3D Por utilidad defini el radio R= 5 unidades de longitud pero se puede usar otro valor. Yo define lo siguiente: 1.−Localize la primera circunferencia con puntos de contacto en ejes (x) ademas de eje( y) como se ve en la grafica 1. Obio al definir esto: h=5 k=5 Con lo cual la primera ecuacion es: (x−5)^2 + (y−5)^2 = 25 2.−Localize la segunda circunferencia con puntos de contacto con el eje (x) y tangente a la primera como se ve en la grafica 2. Obio al definir esto: h=5+10=15 k=5 no varia Con lo cual la segunda ecuacion es: (x−15)^2 + (y−5)^2 = 25 3.−Localize la tercera circunferencia mutuamente tangente a las 2 primeras circunferencias como se ve en la grafica 3 Obio definir esto: h=5+5=10 Para (y) tenemos que hacer lo siguiente: Uniendo los 3 centros de las circunferencias se forma un triangulo equilatero con angulo interno de 60° Ahora trazamos una linea vertical que une el vertice superior con la parte media de la base. Con esto formamos un triangulo rectangulo y planteamos esto: tan 60°=(H/R) siendo H la altura del triangulo Despejamos H=Rtan60° Nos interesa la distancia (y) y tenemos esto: y=R+R tan60°=R(1+tan60°)= y=5(1+(√(3 ))) Con lo cual la ecuacion de la tercera circunferencia es: (x−10)^2 +(y−(1+(√3) ))^2 =25 Con lo cual se tienen ya las 3 ecuaciones de las circunferencias mutuamente tangentes. Espero les sea de utilidad saludos

$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Comparto}\:\mathrm{otro}\:\mathrm{reto}\:\mathrm{de}\:\mathrm{matematicas}\:\mathrm{que}\: \\ $$$$\mathrm{dice}\:\mathrm{literalmente}: \\ $$$$\mathrm{Hallar}\:\mathrm{las}\:\mathrm{ecuaciones}\:\mathrm{de}\:\mathrm{3}\:\mathrm{circunferencias} \\ $$$$\mathrm{mutuamente}\:\mathrm{tangentes}\:\mathrm{y}\:\mathrm{de}\:\mathrm{radios}\:\mathrm{los}\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{iguales}. \\ $$$$\mathrm{Este}\:\mathrm{reto}\:\mathrm{depende}\:\mathrm{en}\:\mathrm{que}\:\mathrm{cuadrante}\:\mathrm{se}\: \\ $$$$\mathrm{representen}\:\mathrm{las}\:\mathrm{circunferencias} \\ $$$$\mathrm{yo}\:\mathrm{use}\:\mathrm{el}\:\mathrm{primer}\:\mathrm{cuadrante}. \\ $$$$\mathrm{Recordemos}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{es} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{donde}\:\mathrm{tienen}\:\mathrm{este}\:\mathrm{significado}: \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{es}\:\mathrm{la}\:\mathrm{abcisa}\:\mathrm{eje}\:\mathrm{horizontal}. \\ $$$$\mathrm{y}\:\mathrm{es}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ordenada}\:\mathrm{eje}\:\mathrm{vertical}. \\ $$$$\mathrm{R}\:\mathrm{es}\:\mathrm{el}\:\mathrm{radio}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{circunferencia}. \\ $$$$\mathrm{Claro}\:\mathrm{esta}\:\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{tiene}\:\mathrm{su}\:\mathrm{centro}\: \\ $$$$\mathrm{en}\:\mathrm{el}\:\mathrm{origen}\:\mathrm{es}\:\mathrm{decir}: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Ahora}\:\mathrm{si}\:\mathrm{deseamos}\:\mathrm{representar}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{desplazada}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cierta}\: \\ $$$$\mathrm{distancia}\:\mathrm{del}\:\mathrm{origen}\:\mathrm{con}\:\mathrm{el}\:\mathrm{centro}\:\mathrm{en}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{nuevo}\:\mathrm{punto}\:\mathrm{en}: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{h} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{tendremos}\:\mathrm{que}\:\mathrm{utilizar}\:\mathrm{esta}\:\mathrm{nueva}\: \\ $$$$\mathrm{ecuacion}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Yo}\:\mathrm{utilizo}\:\mathrm{la}\:\mathrm{aplicacion}\:\mathrm{Geogebra}\:\mathrm{2D}\:\mathrm{y}\:\mathrm{3D} \\ $$$$\mathrm{Por}\:\mathrm{utilidad}\:\mathrm{defini}\:\mathrm{el}\:\mathrm{radio}\:\mathrm{R}=\:\mathrm{5}\:\mathrm{unidades} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{longitud}\:\mathrm{pero}\:\mathrm{se}\:\mathrm{puede}\:\mathrm{usar}\:\mathrm{otro}\:\mathrm{valor}. \\ $$$$\mathrm{Yo}\:\mathrm{define}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{siguiente}: \\ $$$$\mathrm{1}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{circunferencia}\: \\ $$$$\mathrm{con}\:\mathrm{puntos}\:\mathrm{de}\:\mathrm{contacto}\:\mathrm{en}\:\mathrm{ejes}\:\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{ademas} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{eje}\left(\:\mathrm{y}\right)\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\:\mathrm{la}\:\mathrm{grafica}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{al}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{2}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{segunda}\:\mathrm{circunferencia} \\ $$$$\mathrm{con}\:\mathrm{puntos}\:\mathrm{de}\:\mathrm{contacto}\:\mathrm{con}\:\mathrm{el}\:\mathrm{eje}\:\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{y}\:\mathrm{tangente}\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\: \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{grafica}\:\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{al}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5}+\mathrm{10}=\mathrm{15} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{5}\:\mathrm{no}\:\mathrm{varia} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{segunda}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{15}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{3}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tercera}\:\mathrm{circunferencia} \\ $$$$\mathrm{mutuamente}\:\mathrm{tangente}\:\mathrm{a}\:\mathrm{las}\:\mathrm{2}\:\mathrm{primeras}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{grafica}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5}+\mathrm{5}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{Para}\:\left(\mathrm{y}\right)\:\mathrm{tenemos}\:\mathrm{que}\:\mathrm{hacer}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{siguiente}: \\ $$$$\mathrm{Uniendo}\:\mathrm{los}\:\mathrm{3}\:\mathrm{centros}\:\mathrm{de}\:\mathrm{las}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{se}\:\mathrm{forma}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangulo} \\ $$$$\mathrm{equilatero}\:\mathrm{con}\:\mathrm{angulo}\:\mathrm{interno}\:\mathrm{de}\:\mathrm{60}° \\ $$$$\mathrm{Ahora}\:\mathrm{trazamos}\:\mathrm{una}\:\mathrm{linea}\:\mathrm{vertical}\:\mathrm{que}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{el}\:\mathrm{vertice}\:\mathrm{superior}\:\mathrm{con}\:\mathrm{la}\:\mathrm{parte}\:\mathrm{media}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{base}. \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{esto}\:\mathrm{formamos}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangulo}\: \\ $$$$\mathrm{rectangulo}\:\mathrm{y}\:\mathrm{planteamos}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{60}°=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{R}} \\ $$$$\mathrm{siendo}\:\mathrm{H}\:\mathrm{la}\:\mathrm{altura}\:\mathrm{del}\:\mathrm{triangulo} \\ $$$$\mathrm{Despejamos}\:\mathrm{H}=\mathrm{Rtan60}° \\ $$$$\mathrm{Nos}\:\mathrm{interesa}\:\mathrm{la}\:\mathrm{distancia}\:\left(\mathrm{y}\right)\:\mathrm{y}\:\mathrm{tenemos}\: \\ $$$$\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{R}+\mathrm{R}\:\mathrm{tan60}°=\mathrm{R}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan60}°\right)= \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{5}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\left.\mathrm{3}\:\right)}\right. \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tercera} \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{se}\:\mathrm{tienen}\:\mathrm{ya}\:\mathrm{las}\:\mathrm{3}\:\mathrm{ecuaciones} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{las}\:\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{mutuamente} \\ $$$$\mathrm{tangentes}. \\ $$$$\mathrm{Espero}\:\mathrm{les}\:\mathrm{sea}\:\mathrm{de}\:\mathrm{utilidad}\:\mathrm{saludos} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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