Question Number 107945 by bemath last updated on 13/Aug/20 | ||
$$\:\:\:\:\:\:\frac{\circ\mathbb{B}{e}\mathbb{M}{ath}\circ}{\wedge\smile\wedge} \\ $$$$\:\:\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{23}}\\{{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:?}\end{cases} \\ $$ | ||
Answered by $@y@m last updated on 13/Aug/20 | ||
$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{23} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{5} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}=\mathrm{3} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$${x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/20 | ||
$$\:\:\mathrm{Nic}{e}! \\ $$ | ||
Commented by Her_Majesty last updated on 13/Aug/20 | ||
$${nice}\:{but}\:{also}\:−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}\:{is}\:{a}\:{solution} \\ $$ | ||
Commented by bemath last updated on 13/Aug/20 | ||
$${yes}\:{sir}.\:{the}\:{answer}\:\pm\:\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Aug/20 | ||
$${x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{23}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\pm\mathrm{5} \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{5}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\Leftrightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\pm\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}=\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=−\sqrt{\mathrm{3}}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\left(−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}.\left(−\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{5}\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} =−\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right)\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$=−\mathrm{7i}\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{7}}=−\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$\left.\mathrm{d}\right)\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\left(−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$=\mathrm{7i}\sqrt{\mathrm{7}}−\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{7}}=\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{four}\:\mathrm{answers}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{as}: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\in\left\{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}};−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}};\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{7}};−\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{7}}\right\} \\ $$ | ||
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Aug/20 | ||
$$\mathrm{An}\:\boldsymbol{\mathrm{uncommon}}\:\mathrm{way}_{\searrow} ^{\nearrow} \rightarrow \\ $$$$\:\:\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{23}}\\{{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:?}\end{cases} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\right)^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{23}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{12}} }+\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }\right)=\mathrm{23}^{\mathrm{3}} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{12}} }=\mathrm{23}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{23}\right)=\mathrm{12098} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{6}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} }\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{12098} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{6}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{12100} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} }=\pm\mathrm{110} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{6}} }−\mathrm{2}=\pm\mathrm{110}−\mathrm{2} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{108},\mathrm{112} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}\:,\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{7}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\underset{\downarrow} {\overset{\uparrow} {\langle\rtimes_{\swarrow} ^{\nwarrow} \:\mathrm{sindhi}_{\searrow} ^{\nearrow} \:\ltimes\rangle}}\:\:_{\:} ^{\:} \:\: \\ $$ | ||
Commented by bemath last updated on 13/Aug/20 | ||
$${cooll} \\ $$ | ||