Question Number 215885 by a.lgnaoui last updated on 20/Jan/25
$$\:\mathrm{Area}\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{ABC}\:? \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 20/Jan/25
Answered by A5T last updated on 21/Jan/25
Commented by A5T last updated on 21/Jan/25
![OE^2 =DO^2 +DE^2 −2×DO×DEcos∠ODE DO=x⇒9^2 =x^2 +10^2 −10x⇒x^2 −10x+19=0 ⇒x=((10+_− 2(√6))/2)=5+_− (√6)⇒x=5−(√6) ⇒DB=9+5−(√6)=14−(√6) ⇒BE=(√(162−18(√6))) ⇒AB=(√(18^2 −162+18(√6)))=(√(162+18(√6))) 9^2 =162+18(√6)+9^2 −2×9(√(162+18(√6)))cosABD ⇒cosABD=((√(162+18(√6)))/(18)) ⇒AD=(√(162+18(√6)+(14−(√6))^2 −(((162+18(√6))(14−(√6)))/9))) AD=2(√(31−5(√6))) AD×DF=BD(2R−BD)⇒DF=((5(5+(√6)))/( (√(31−5(√6))))) ⇒EF=(√(DE^2 −DF^2 ))=((5(√(2433(661−155(√6)))))/(811)) ((EF)/(AB))=((CF)/(CB=BE+CE)) [CF=y; CE=z] ⇒(((5(√(3(31−10(√6)))))/( (√(31−5(√6)))))/( (√(162+18(√6)))))=(y/( (√(162−18(√6)))+z))...(i) CF^2 +EF^2 =CE^2 ⇒y^2 +((25[2433(661−155(√6))])/(811^2 ))=z^2 ...(ii) (i)&(ii) ⇒((25[3(31−10(√6))])/((162+18(√6))(31−5(√6))))((√(162−18(√6)))+z)^2 +((25[2433(661−155(√6))])/(811^2 ))=z^2 ⇒z=CE=((6(√(6633−2687(√6))))/5) ⇒[ABC]=(1/2)AB×BC=(1/2)×AB×[BE+CE] ⇒[ABC]=279(√3)−243(√2)≈139.5883](Q215907.png)
$$\mathrm{OE}^{\mathrm{2}} =\mathrm{DO}^{\mathrm{2}} +\mathrm{DE}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{DO}×\mathrm{DEcos}\angle\mathrm{ODE} \\ $$$$\mathrm{DO}=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{9}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}+\mathrm{19}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{10}\underset{−} {+}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{6}}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{DB}=\mathrm{9}+\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{6}}=\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{BE}=\sqrt{\mathrm{162}−\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{18}^{\mathrm{2}} −\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}=\sqrt{\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}} \\ $$$$\mathrm{9}^{\mathrm{2}} =\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{9}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{9}\sqrt{\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}\mathrm{cosABD} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cosABD}=\frac{\sqrt{\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}}{\mathrm{18}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{AD}=\sqrt{\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}+\left(\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\left(\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\left(\mathrm{14}−\sqrt{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{9}}} \\ $$$$\mathrm{AD}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{31}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}} \\ $$$$\mathrm{AD}×\mathrm{DF}=\mathrm{BD}\left(\mathrm{2R}−\mathrm{BD}\right)\Rightarrow\mathrm{DF}=\frac{\mathrm{5}\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{6}}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{31}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{EF}=\sqrt{\mathrm{DE}^{\mathrm{2}} −\mathrm{DF}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{2433}\left(\mathrm{661}−\mathrm{155}\sqrt{\mathrm{6}}\right)}}{\mathrm{811}} \\ $$$$\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{CB}=\mathrm{BE}+\mathrm{CE}}\:\:\left[\mathrm{CF}=\mathrm{y};\:\mathrm{CE}=\mathrm{z}\right] \\ $$$$\Rightarrow\frac{\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}\left(\mathrm{31}−\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{6}}\right)}}{\:\sqrt{\mathrm{31}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}}}}{\:\sqrt{\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}}=\frac{\mathrm{y}}{\:\sqrt{\mathrm{162}−\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}+\mathrm{z}}...\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{CF}^{\mathrm{2}} +\mathrm{EF}^{\mathrm{2}} =\mathrm{CE}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{25}\left[\mathrm{2433}\left(\mathrm{661}−\mathrm{155}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\right]}{\mathrm{811}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} ...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\&\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{25}\left[\mathrm{3}\left(\mathrm{31}−\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\right]}{\left(\mathrm{162}+\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\left(\mathrm{31}−\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{6}}\right)}\left(\sqrt{\mathrm{162}−\mathrm{18}\sqrt{\mathrm{6}}}+\mathrm{z}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{25}\left[\mathrm{2433}\left(\mathrm{661}−\mathrm{155}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\right]}{\mathrm{811}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{CE}=\frac{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{6633}−\mathrm{2687}\sqrt{\mathrm{6}}}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\left[\mathrm{ABC}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{AB}×\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{AB}×\left[\mathrm{BE}+\mathrm{CE}\right] \\ $$$$\Rightarrow\left[\mathrm{ABC}\right]=\mathrm{279}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{243}\sqrt{\mathrm{2}}\approx\mathrm{139}.\mathrm{5883} \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 21/Jan/25
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$