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AllQuestion and Answers: Page 665

Question Number 152447 Answers: 1 Comments: 1

Question Number 152445 Answers: 0 Comments: 1

Question Number 152443 Answers: 0 Comments: 2

Question Number 152441 Answers: 3 Comments: 1

Question Number 152439 Answers: 0 Comments: 3

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Question Number 152429 Answers: 1 Comments: 1

Question Number 153758 Answers: 1 Comments: 0

S = ((Σ_(k = 1) ^n sin(θ_k ))/(Σ_(k = 1) ^n cos(θ_k ))); where (θ_k )_(k = 1) ^n is an arithmetic progression. show that S = tan(θ^ ) where θ^ = (1/n)Σ_(k = 1) ^n θ_k is the arithmetic mean of (θ_k )

$${S}\:=\:\frac{\underset{{k}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{sin}\left(\theta_{{k}} \right)}{\underset{{k}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{cos}\left(\theta_{{k}} \right)};\:\mathrm{where}\:\left(\theta_{{k}} \right)_{{k}\:=\:\mathrm{1}} ^{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{arithmetic}\:\mathrm{progression}. \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:{S}\:=\:\mathrm{tan}\left(\bar {\theta}\right) \\ $$$$\mathrm{where}\:\bar {\theta}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\underset{{k}\:=\:\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\theta_{{k}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{arithmetic}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{of}\:\left(\theta_{{k}} \right) \\ $$

Question Number 152420 Answers: 2 Comments: 0

∫_0 ^( (π/2)) (e^(sinx) /(e^(cosx) +e^(sinx) ))dx ?

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{{e}^{{sinx}} }{{e}^{{cosx}} +{e}^{{sinx}} }{dx}\:\:\:? \\ $$

Question Number 152418 Answers: 1 Comments: 0

Anecdote historique (une vraie anecdote confirme^ e par les historiens). Au XVIIIe^ me sie^ cle, Voltaire est parti aupre^ s de Fre^ de^ ric II de Prusse. Ces deux hommes ont longtemps correspondu avant de se rencontrer. Fre^ de^ ric II e^ tait un ve^ ritable lettre^ qui aimait la philosophie, l′art et les sciences. Voltaire l′admirait beaucoup et le prenait pour un roi philosophe. Fre^ de^ ric II adressait re^ gulie^ rement des petits mots code^ s a^ Voltaire. Un jour il envoie : (p/(venez)) a ((ci)/(100)) Ce a^ quoi Voltaire re^ pond : Ga Comprenez−vous leur correspondance ? Je repre^ cise qu′il s′agit bien d′une correspondance re^ elle entre ces deux personnnages historiques.

$$\boldsymbol{\mathrm{Anecdote}}\:\boldsymbol{\mathrm{historique}} \\ $$$$ \\ $$$$\left({une}\:{vraie}\:{anecdote}\:{confirm}\acute {{e}e}\:{par}\right. \\ $$$$\left.{les}\:{historiens}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Au}\:\mathrm{XVIII}\grave {{e}me}\:\mathrm{si}\grave {\mathrm{e}cle},\:\mathrm{Voltaire}\:\mathrm{est}\:\mathrm{parti} \\ $$$$\mathrm{aupr}\grave {\mathrm{e}s}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Fr}\acute {\mathrm{e}d}\acute {\mathrm{e}ric}\:\mathrm{II}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Prusse}.\:\mathrm{Ces} \\ $$$$\mathrm{deux}\:\mathrm{hommes}\:\mathrm{ont}\:\mathrm{longtemps} \\ $$$$\mathrm{correspondu}\:\mathrm{avant}\:\mathrm{de}\:\mathrm{se}\:\mathrm{rencontrer}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Fr}\acute {\mathrm{e}d}\acute {\mathrm{e}ric}\:\mathrm{II}\:\acute {\mathrm{e}tait}\:\mathrm{un}\:\mathrm{v}\acute {\mathrm{e}ritable}\:\mathrm{lettr}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{aimait}\:\mathrm{la}\:\mathrm{philosophie},\:\mathrm{l}'\mathrm{art}\:\mathrm{et}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{sciences}.\:\mathrm{Voltaire}\:\mathrm{l}'\mathrm{admirait}\:\mathrm{beaucoup} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{le}\:\mathrm{prenait}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{un}\:\mathrm{roi}\:\mathrm{philosophe}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Fr}\acute {\mathrm{e}d}\acute {\mathrm{e}ric}\:\mathrm{II}\:\mathrm{adressait}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}guli}\grave {\mathrm{e}rement} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{petits}\:\mathrm{mots}\:\mathrm{cod}\acute {\mathrm{e}s}\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{Voltaire}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Un}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{il}\:\mathrm{envoie}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{venez}}\:\mathrm{a}\:\frac{\mathrm{ci}}{\mathrm{100}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ce}\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{quoi}\:\mathrm{Voltaire}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}pond}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ga} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Comprenez}−\mathrm{vous}\:\mathrm{leur} \\ $$$$\mathrm{correspondance}\:? \\ $$$$ \\ $$$${J}\mathrm{e}\:{repr}\acute {{e}cise}\:{qu}'{il}\:{s}'{agit}\:{bien}\:{d}'{une} \\ $$$${correspondance}\:{r}\acute {{e}elle}\:{entre}\:{ces}\:{deux} \\ $$$${personnnages}\:{historiques}. \\ $$

Question Number 152417 Answers: 0 Comments: 1

Blague de matheux. Les mathe^ maticiens n′urinent pas. Ils font ππ. Bon ok je sors...

$$\boldsymbol{\mathrm{Blague}}\:\boldsymbol{\mathrm{de}}\:\boldsymbol{\mathrm{matheux}}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Les}\:\mathrm{math}\acute {\mathrm{e}maticiens}\:\mathrm{n}'\mathrm{urinent}\:\mathrm{pas}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Ils}\:\mathrm{font}\:\pi\pi. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Bon}\:\mathrm{ok}\:\mathrm{je}\:\mathrm{sors}... \\ $$

Question Number 152407 Answers: 2 Comments: 0

Question Number 152396 Answers: 1 Comments: 0

If x^3 -x+3=0 has the roots a;b and c determine the monic polynomial with the roots a^5 ; b^5 and c^5 .

$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} -\mathrm{x}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\:\mathrm{a};\mathrm{b}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{monic}\:\mathrm{polynomial}\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{5}} \:;\:\mathrm{b}^{\mathrm{5}} \:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{c}^{\mathrm{5}} \:. \\ $$

Question Number 152394 Answers: 0 Comments: 7

Le spaghetti de Cyril Lignac. Le chef Cyril Lignac pre^ pare des spaghettis. Mais au moment de les plonger dans l′eau, l′un tombe par terre et se casse en trois morceaux. Le chef Lignac se demande alors quelle est la probabilite^ de pouvoir faire un triangle avec les trois morceaux.

$$\mathrm{Le}\:\mathrm{spaghetti}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Cyril}\:\mathrm{Lignac}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{chef}\:\mathrm{Cyril}\:\mathrm{Lignac}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}pare}\:\mathrm{des} \\ $$$$\mathrm{spaghettis}.\:\mathrm{Mais}\:\mathrm{au}\:\mathrm{moment}\:\mathrm{de}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{plonger}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{l}'\mathrm{eau},\:\mathrm{l}'\mathrm{un}\:\mathrm{tombe}\:\mathrm{par} \\ $$$$\mathrm{terre}\:\mathrm{et}\:\mathrm{se}\:\mathrm{casse}\:\mathrm{en}\:\mathrm{trois}\:\mathrm{morceaux}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{chef}\:\mathrm{Lignac}\:\mathrm{se}\:\mathrm{demande}\:\mathrm{alors} \\ $$$$\mathrm{quelle}\:\mathrm{est}\:\mathrm{la}\:\mathrm{probabilit}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{de}\:\mathrm{pouvoir} \\ $$$$\mathrm{faire}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{les}\:\mathrm{trois} \\ $$$$\mathrm{morceaux}. \\ $$

Question Number 152393 Answers: 2 Comments: 0

Quels sont les deux a^ ges ? J′ai deux fois l′a^ ge que vous aviez quand j′avais l′a^ ge que vous avez. Quand vous aurez l′a^ ge que j′ai, nous aurons a^ nous deux 63 ans.

$$\mathrm{Quels}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\hat {\mathrm{a}ges}\:? \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{J}'\mathrm{ai}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{fois}\:\mathrm{l}'\hat {\mathrm{a}ge}\:\mathrm{que}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{aviez} \\ $$$$\mathrm{quand}\:\mathrm{j}'\mathrm{avais}\:\mathrm{l}'\hat {\mathrm{a}ge}\:\mathrm{que}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{avez}. \\ $$$$\mathrm{Quand}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{aurez}\:\mathrm{l}'\hat {\mathrm{a}ge}\:\mathrm{que}\:\mathrm{j}'\mathrm{ai},\:\mathrm{nous} \\ $$$$\mathrm{aurons}\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{nous}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{63}\:\mathrm{ans}. \\ $$

Question Number 152388 Answers: 1 Comments: 8