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AllQuestion and Answers: Page 663

Question Number 152052    Answers: 1   Comments: 0

knowns x_2 =(2/x_1 ) , x_3 =(3/x_2 ) , x_4 =(4/x_3 ) , x_5 =(5/x_4 ) , ..., x_8 =(8/x_7 ). Find the value of x_1 ×x_2 ×x_3 ×...×x_8 .

$$\:\:\mathrm{knowns}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:,\:\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }\:,\:\mathrm{x}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}_{\mathrm{3}} } \\ $$$$,\:\mathrm{x}_{\mathrm{5}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{x}_{\mathrm{4}} }\:,\:...,\:\mathrm{x}_{\mathrm{8}} =\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{x}_{\mathrm{7}} }.\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ×\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ×\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ×...×\mathrm{x}_{\mathrm{8}} . \\ $$

Question Number 152049    Answers: 0   Comments: 0

If a;b≥1 then prove that: (a+1+((a+1)/a^2 ))^a ∙ (b+1+((b+1)/b^2 ))^b ≥ 2^(2(1+(√(ab))))

$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{a};\mathrm{b}\geqslant\mathrm{1}\:\:\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)^{\boldsymbol{\mathrm{a}}} \centerdot\:\left(\mathrm{b}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{b}+\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\right)^{\boldsymbol{\mathrm{b}}} \geqslant\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{ab}}}\right)} \: \\ $$

Question Number 152047    Answers: 0   Comments: 0

∫_0 ^( ∞) ((x^2 +1)/( (√x^x ))) dx

$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{{x}} }}\:{dx} \\ $$$$\: \\ $$

Question Number 152019    Answers: 4   Comments: 0

Ω =∫_( 0) ^( 1) Li_2 (x) log(1+x) dx = ? Li_2 (x)−polylogaritm function

$$\Omega\:=\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{1}} {\int}}\:{Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)\:{log}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\:{dx}\:=\:? \\ $$$${Li}_{\mathrm{2}} \left({x}\right)−{polylogaritm}\:{function} \\ $$

Question Number 152105    Answers: 1   Comments: 0

∫_0 ^( ∞) (1/(⌊x+1⌋)) − (1/(x+1)) dx

$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\lfloor{x}+\mathrm{1}\rfloor}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\: \\ $$

Question Number 152010    Answers: 1   Comments: 1

Question Number 152001    Answers: 1   Comments: 0

Four members of a school′s first eleven criket team are also in the first fourteen rugby team. How many members play for at least one of the two teams

$$\mathrm{Four}\:\mathrm{members}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{school}'\mathrm{s}\:\mathrm{first}\:\mathrm{eleven} \\ $$$$\mathrm{criket}\:\mathrm{team}\:\mathrm{are}\:\mathrm{also}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{fourteen} \\ $$$$\mathrm{rugby}\:\mathrm{team}.\:\mathrm{How}\:\mathrm{many}\:\mathrm{members}\:\mathrm{play} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two}\:\mathrm{teams} \\ $$

Question Number 152000    Answers: 0   Comments: 3

• Histoire de code secret Vous e^ tes un espion et vous souhaitez assister a^ une re^ union secre^ te dans une une ambassade ou le garde demande un mot de passe... Vous vous cachez et tentez d′e^ couter les personnes qui se pre^ sentent. Au premier homme, le garde dit Cinq, l′homme re^ pond Quatre et le garde le laisse entrer. Au deuxie^ me, le garde lui dit Six, il re^ pond Trois et passe. Un dernier se pre^ sente. Le garde lui dit Quatre, il re^ pond Six et entre. Vous vous pre^ sentez alors et le garde vous dit Sept. Mais que re^ pondez−vous ?

$$\bullet\:{Histoire}\:{de}\:{code}\:{secret}\: \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Vous}\:\hat {\mathrm{e}tes}\:\mathrm{un}\:\mathrm{espion}\:\mathrm{et}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{souhaitez} \\ $$$$\mathrm{assister}\:\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{une}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}union}\:\mathrm{secr}\grave {\mathrm{e}te}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{ambassade}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{le}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{demande} \\ $$$$\mathrm{un}\:\mathrm{mot}\:\mathrm{de}\:\mathrm{passe}... \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Vous}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{cachez}\:\mathrm{et}\:\mathrm{tentez}\:\mathrm{d}'\acute {\mathrm{e}couter} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{personnes}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{se}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}sentent}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Au}\:\mathrm{premier}\:\mathrm{homme},\:\mathrm{le}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{dit}\:\mathrm{Cinq}, \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{homme}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}pond}\:\mathrm{Quatre}\:\mathrm{et}\:\mathrm{le}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{laisse}\:\mathrm{entrer}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Au}\:\mathrm{deuxi}\grave {\mathrm{e}me},\:\mathrm{le}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{lui}\:\mathrm{dit}\:\mathrm{Six},\:\mathrm{il} \\ $$$$\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}pond}\:\mathrm{Trois}\:\mathrm{et}\:\mathrm{passe}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Un}\:\mathrm{dernier}\:\mathrm{se}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}sente}.\:\mathrm{Le}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{lui} \\ $$$$\mathrm{dit}\:\mathrm{Quatre},\:\mathrm{il}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}pond}\:\mathrm{Six}\:\mathrm{et}\:\mathrm{entre}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Vous}\:\mathrm{vous}\:\mathrm{pr}\acute {\mathrm{e}sentez}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{et}\:\mathrm{le}\:\mathrm{garde} \\ $$$$\mathrm{vous}\:\mathrm{dit}\:\mathrm{Sept}.\:\mathrm{Mais}\:\mathrm{que} \\ $$$$\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}pondez}−\mathrm{vous}\:? \\ $$

Question Number 151999    Answers: 2   Comments: 0

∫((x−1)/(x^2 +x−12))

$$\int\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{12}} \\ $$

Question Number 152035    Answers: 1   Comments: 0

Show that 2sin7θcos3θ=sin10θ+sin4θ.

$${Show}\:{that}\:\mathrm{2}{sin}\mathrm{7}\theta{cos}\mathrm{3}\theta={sin}\mathrm{10}\theta+{sin}\mathrm{4}\theta. \\ $$

Question Number 152034    Answers: 2   Comments: 0

{ ((3x^2 - 2y = - ((17)/3))),((y^2 - 6x = 7)) :} ⇒ xy = ?

$$\begin{cases}{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{2y}\:=\:-\:\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{3}}}\\{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{6x}\:=\:\mathrm{7}}\end{cases}\:\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{xy}\:=\:? \\ $$

Question Number 152032    Answers: 0   Comments: 0

Question Number 152030    Answers: 1   Comments: 2

Question Number 152029    Answers: 1   Comments: 2

Question Number 152266    Answers: 1   Comments: 0

Question Number 151988    Answers: 0   Comments: 2

if x;y;z are natural numbers such that 2x^x + y^y = 3z^z then find ((2021x + 2022y + 2023z)/(x + y + z)) = ?

$$\mathrm{if}\:\:\mathrm{x};\mathrm{y};\mathrm{z}\:\:\mathrm{are}\:\mathrm{natural}\:\mathrm{numbers} \\ $$$$\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\:\mathrm{2x}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \:+\:\mathrm{y}^{\boldsymbol{\mathrm{y}}} \:=\:\mathrm{3z}^{\boldsymbol{\mathrm{z}}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{find}\:\:\frac{\mathrm{2021}\boldsymbol{\mathrm{x}}\:+\:\mathrm{2022}\boldsymbol{\mathrm{y}}\:+\:\mathrm{2023}\boldsymbol{\mathrm{z}}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}\:+\:\mathrm{z}}\:=\:? \\ $$

Question Number 151983    Answers: 1   Comments: 0

∫_(−∞) ^(+∞) (((1−ix)/(1+ix)))^n (((1+ix)/(1−ix)))^m (1/(1+x^2 ))dx

$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \left(\frac{\mathrm{1}−{ix}}{\mathrm{1}+{ix}}\right)^{{n}} \left(\frac{\mathrm{1}+{ix}}{\mathrm{1}−{ix}}\right)^{{m}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$

Question Number 151979    Answers: 3   Comments: 0

lim_(x→0) (((1+mx)^n - (1+nx)^m )/x^2 ) = ? ; m;n∈N

$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{mx}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{n}}} \:-\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{nx}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{m}}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\:?\:\:;\:\:\mathrm{m};\mathrm{n}\in\mathbb{N} \\ $$

Question Number 151973    Answers: 1   Comments: 1

Question Number 152026    Answers: 0   Comments: 1

Question Number 151965    Answers: 2   Comments: 0

x , y ∈ R & sin(x )+ cos (y ) =1 then max ( sin(y) + cos (x) ) =? ....

$$ \\ $$$$\:\:\:{x}\:,\:{y}\:\in\:\mathbb{R}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\&\:{sin}\left({x}\:\right)+\:{cos}\:\left({y}\:\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$${then}\:\:{max}\:\left(\:{sin}\left({y}\right)\:+\:{cos}\:\left({x}\right)\:\right)\:=? \\ $$$$\:\:.... \\ $$

Question Number 151961    Answers: 1   Comments: 1

Question Number 151959    Answers: 1   Comments: 0

Question Number 151958    Answers: 0   Comments: 0

f ( x ) = a −(√((x/(1+x)) )) , D_( f) : [ 0, ∞) , a≥ 1 , h (x ):=(√(( f^( −1) (a−ax ))/(f^( −1) ( a− 2x )))) D_( h) = ? ( D := Domain )

$${f}\:\left(\:{x}\:\right)\:=\:{a}\:−\sqrt{\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}}\:}\:\:\:,\:{D}_{\:{f}} \::\:\left[\:\mathrm{0},\:\infty\right) \\ $$$$,\:{a}\geqslant\:\mathrm{1}\:\:\:,\:\:{h}\:\left({x}\:\right):=\sqrt{\frac{\:{f}^{\:−\mathrm{1}} \left({a}−{ax}\:\right)}{{f}^{\:−\mathrm{1}} \left(\:{a}−\:\mathrm{2}{x}\:\right)}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{D}_{\:{h}} \:=\:?\:\:\:\left(\:\:\:{D}\::=\:{Domain}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Question Number 151956    Answers: 0   Comments: 0

lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n arctan (1/(2k^2 )) arctan ((2k^2 - 1)/(2k^2 )) = ?

$$\underset{\boldsymbol{\mathrm{n}}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{\mathrm{n}}} {\sum}}\:\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{1}}{\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} }\:=\:? \\ $$

Question Number 151954    Answers: 1   Comments: 0

nice...calculus 𝛗 := ∫_0 ^( (π/2)) x^( 3) . cot (x )dx =(a/(16)) a :=? m.n...

$$ \\ $$$$\:\:\:\:{nice}...{calculus} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}\::=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {x}^{\:\mathrm{3}} .\:{cot}\:\left({x}\:\right){dx}\:=\frac{{a}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\::=? \\ $$$${m}.{n}... \\ $$

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