On souhaite calculer I=∫_0 ^∞ ((sint)/t)dt.
(1) On de^ finit la fonction F(x)=∫_0 ^∞ e^(−tx) ((sint)/t)dt.
(a) De^ terminer le domaine de de^ finition de f sur R.
(b) Montrer que F est de classe C^1 sur R_+ ^∗ et calculer F ′(x).
(c) Limite de F en +∞ ? Conse^ quence ?
(2) On note Si(t)=∫_0 ^t ((sinu)/u)du pour tout re^ el t.
(a) Montrer que G(x)=∫_0 ^∞ e^(−tx) Si(t)dt est de^ finie sur R_+ ^∗ .
(b) Montrer que xG(x)→I quand x→0^+ .
(c) Au moyen d′une inte^ gration par parties, montrer que F est continue en 0.
(3) Calculer I.
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