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AllQuestion and Answers: Page 50

Question Number 216786    Answers: 1   Comments: 0

Question Number 216785    Answers: 0   Comments: 0

given the recursive {a_n } define by setting a_(1 ) ∈ (0,1) , a_(n+1) = a_n (1−a_n ) , n≥1 prove that (1) lim_(n→∞) na_n = 1 (2) b_n = n(1−na_n ) is a incresing sequence and diverge to ∞ (3) lim_(n→∞) ((n(1−na_n ))/(ln(n))) = 1

$$\:\:\:\mathrm{given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{recursive}\:\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right\}\:\mathrm{define}\:\mathrm{by}\:\mathrm{setting} \\ $$$$\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}\:} \:\in\:\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)\:\:\:,\:\:\:\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)\:\:\:,\:\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\:\left(\mathrm{1}\right)\:\:\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{na}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{n}\left(\mathrm{1}−\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{incresing}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{diverge}\:\mathrm{to}\:\infty \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{3}\right)\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{1}−\mathrm{na}_{\mathrm{n}} \right)}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)}\:=\:\mathrm{1} \\ $$

Question Number 216783    Answers: 3   Comments: 0

Find all positive integers n such that n^2 +7n+6 is perfect square.

$${Find}\:{all}\:{positive}\:{integers}\:{n}\:{such}\:{that} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{n}+\mathrm{6}\:{is}\:{perfect}\:{square}. \\ $$

Question Number 216776    Answers: 1   Comments: 0

Question Number 216774    Answers: 1   Comments: 0

find ∫ ((tan^2 (x) )/(1+sec^4 (x))) .dx

$$\:\:\boldsymbol{{find}}\:\int\:\frac{\boldsymbol{{tan}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{{x}}\right)\:}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{sec}}^{\mathrm{4}} \left(\boldsymbol{{x}}\right)}\:.\boldsymbol{{dx}}\: \\ $$

Question Number 216772    Answers: 1   Comments: 0

find ∫((tan^2 (x) )/(1−sec^4 (x))) .dx

$$\:\:\boldsymbol{{find}}\:\int\frac{\boldsymbol{{tan}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{{x}}\right)\:}{\mathrm{1}−\boldsymbol{{sec}}^{\mathrm{4}} \left(\boldsymbol{{x}}\right)}\:.\boldsymbol{{dx}}\:\: \\ $$

Question Number 216769    Answers: 1   Comments: 0

Solve for integer k,m and n: k^2 m−n^2 =8

$${Solve}\:{for}\:{integer}\:{k},{m}\:{and}\:{n}: \\ $$$${k}^{\mathrm{2}} {m}−{n}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8} \\ $$

Question Number 216764    Answers: 1   Comments: 0

solve x? (√x) + 11 = 0

$${solve}\:{x}? \\ $$$$\sqrt{{x}}\:+\:\mathrm{11}\:=\:\mathrm{0} \\ $$

Question Number 216755    Answers: 1   Comments: 0

Question Number 216754    Answers: 2   Comments: 0

∫_( 0) ^( 1) ((x ln^2 (x))/(1 + x^2 )) dx

$$\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$

Question Number 216751    Answers: 0   Comments: 0

Find Card{(A,B,C)∈P(E)^3 / AUBUC=E}

$${Find}\:\:\:{Card}\left\{\left({A},{B},{C}\right)\in{P}\left({E}\right)^{\mathrm{3}} /\:{AUBUC}={E}\right\} \\ $$

Question Number 216750    Answers: 1   Comments: 0

If a−b=(√(ab)) find the value of ((a−b)/(a+b))

$${If}\:\:{a}−{b}=\sqrt{{ab}}\:\:\:{find}\:\:\:{the}\:{value}\:{of}\:\frac{{a}−{b}}{{a}+{b}} \\ $$

Question Number 216749    Answers: 2   Comments: 0

Find ∫_0 ^∞ (((−1)^(E(x)) )/(E(−x)))dx

$${Find}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{E}\left({x}\right)} }{{E}\left(−{x}\right)}{dx} \\ $$

Question Number 216748    Answers: 1   Comments: 0

Find ∫_(−1) ^1 ln∣Γ((1/2)+it)∣dt

$${Find}\:\:\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} {ln}\mid\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{it}\right)\mid{dt} \\ $$

Question Number 216746    Answers: 0   Comments: 0

Calculate (((5+i)^4 )/(239+i)) Then Prove the Machin formula 4arctan((1/5))−arctan((1/(239)))=(π/4)

$${Calculate}\:\frac{\left(\mathrm{5}+{i}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{239}+{i}}\:{Then}\: \\ $$$${Prove}\:{the}\:{Machin}\:{formula} \\ $$$$\mathrm{4}{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)−{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{239}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$

Question Number 216739    Answers: 1   Comments: 0

Prove that ^3 (√((√5)+2)) −^3 (√((√5)−2)) =1 Question#216694 reposted for new answers

$${Prove}\:{that}\:\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{2}}\:−^{\mathrm{3}} \sqrt{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{2}}\:=\mathrm{1} \\ $$$${Question}#\mathrm{216694}\:{reposted}\:{for}\:{new}\:{answers} \\ $$

Question Number 216742    Answers: 1   Comments: 0

(1/2)∫_( 0) ^( 1) ((ln(a − 1))/a) da

$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\:\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}\:\:−\:\:\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}}\:\mathrm{da} \\ $$

Question Number 216737    Answers: 0   Comments: 1

find critical and local points for curve y=x^3 −6x^2 +9x−2

$$\:{find}\:{critical}\:{and}\:{local}\:{points}\:{for}\:{curve} \\ $$$$\:{y}={x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9}{x}−\mathrm{2} \\ $$

Question Number 216734    Answers: 2   Comments: 0

Question Number 216733    Answers: 0   Comments: 0

Comparto otro reto de matematicas que dice literalmente: Hallar las ecuaciones de 3 circunferencias mutuamente tangentes y de radios los 3 iguales. Este reto depende en que cuadrante se representen las circunferencias yo use el primer cuadrante. Recordemos la ecuacion de la circunferencia es x^2 +y^2 =R^2 En donde tienen este significado: x es la abcisa eje horizontal. y es la ordenada eje vertical. R es el radio de la circunferencia. Claro esta circunferencia tiene su centro en el origen es decir: x=0 y=0 Ahora si deseamos representar la circunferencia desplazada a cierta distancia del origen con el centro en un nuevo punto en: x=h y=k tendremos que utilizar esta nueva ecuacion: (x−h)^2 + (y−k)^2 = R^2 Yo utilizo la aplicacion Geogebra 2D y 3D Por utilidad defini el radio R= 5 unidades de longitud pero se puede usar otro valor. Yo define lo siguiente: 1.−Localize la primera circunferencia con puntos de contacto en ejes (x) ademas de eje( y) como se ve en la grafica 1. Obio al definir esto: h=5 k=5 Con lo cual la primera ecuacion es: (x−5)^2 + (y−5)^2 = 25 2.−Localize la segunda circunferencia con puntos de contacto con el eje (x) y tangente a la primera como se ve en la grafica 2. Obio al definir esto: h=5+10=15 k=5 no varia Con lo cual la segunda ecuacion es: (x−15)^2 + (y−5)^2 = 25 3.−Localize la tercera circunferencia mutuamente tangente a las 2 primeras circunferencias como se ve en la grafica 3 Obio definir esto: h=5+5=10 Para (y) tenemos que hacer lo siguiente: Uniendo los 3 centros de las circunferencias se forma un triangulo equilatero con angulo interno de 60° Ahora trazamos una linea vertical que une el vertice superior con la parte media de la base. Con esto formamos un triangulo rectangulo y planteamos esto: tan 60°=(H/R) siendo H la altura del triangulo Despejamos H=Rtan60° Nos interesa la distancia (y) y tenemos esto: y=R+R tan60°=R(1+tan60°)= y=5(1+(√(3 ))) Con lo cual la ecuacion de la tercera circunferencia es: (x−10)^2 +(y−(1+(√3) ))^2 =25 Con lo cual se tienen ya las 3 ecuaciones de las circunferencias mutuamente tangentes. Espero les sea de utilidad saludos

$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Comparto}\:\mathrm{otro}\:\mathrm{reto}\:\mathrm{de}\:\mathrm{matematicas}\:\mathrm{que}\: \\ $$$$\mathrm{dice}\:\mathrm{literalmente}: \\ $$$$\mathrm{Hallar}\:\mathrm{las}\:\mathrm{ecuaciones}\:\mathrm{de}\:\mathrm{3}\:\mathrm{circunferencias} \\ $$$$\mathrm{mutuamente}\:\mathrm{tangentes}\:\mathrm{y}\:\mathrm{de}\:\mathrm{radios}\:\mathrm{los}\:\mathrm{3}\: \\ $$$$\mathrm{iguales}. \\ $$$$\mathrm{Este}\:\mathrm{reto}\:\mathrm{depende}\:\mathrm{en}\:\mathrm{que}\:\mathrm{cuadrante}\:\mathrm{se}\: \\ $$$$\mathrm{representen}\:\mathrm{las}\:\mathrm{circunferencias} \\ $$$$\mathrm{yo}\:\mathrm{use}\:\mathrm{el}\:\mathrm{primer}\:\mathrm{cuadrante}. \\ $$$$\mathrm{Recordemos}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{es} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{donde}\:\mathrm{tienen}\:\mathrm{este}\:\mathrm{significado}: \\ $$$$\mathrm{x}\:\mathrm{es}\:\mathrm{la}\:\mathrm{abcisa}\:\mathrm{eje}\:\mathrm{horizontal}. \\ $$$$\mathrm{y}\:\mathrm{es}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ordenada}\:\mathrm{eje}\:\mathrm{vertical}. \\ $$$$\mathrm{R}\:\mathrm{es}\:\mathrm{el}\:\mathrm{radio}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{circunferencia}. \\ $$$$\mathrm{Claro}\:\mathrm{esta}\:\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{tiene}\:\mathrm{su}\:\mathrm{centro}\: \\ $$$$\mathrm{en}\:\mathrm{el}\:\mathrm{origen}\:\mathrm{es}\:\mathrm{decir}: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Ahora}\:\mathrm{si}\:\mathrm{deseamos}\:\mathrm{representar}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{desplazada}\:\mathrm{a}\:\mathrm{cierta}\: \\ $$$$\mathrm{distancia}\:\mathrm{del}\:\mathrm{origen}\:\mathrm{con}\:\mathrm{el}\:\mathrm{centro}\:\mathrm{en}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{nuevo}\:\mathrm{punto}\:\mathrm{en}: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{h} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{tendremos}\:\mathrm{que}\:\mathrm{utilizar}\:\mathrm{esta}\:\mathrm{nueva}\: \\ $$$$\mathrm{ecuacion}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{h}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Yo}\:\mathrm{utilizo}\:\mathrm{la}\:\mathrm{aplicacion}\:\mathrm{Geogebra}\:\mathrm{2D}\:\mathrm{y}\:\mathrm{3D} \\ $$$$\mathrm{Por}\:\mathrm{utilidad}\:\mathrm{defini}\:\mathrm{el}\:\mathrm{radio}\:\mathrm{R}=\:\mathrm{5}\:\mathrm{unidades} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{longitud}\:\mathrm{pero}\:\mathrm{se}\:\mathrm{puede}\:\mathrm{usar}\:\mathrm{otro}\:\mathrm{valor}. \\ $$$$\mathrm{Yo}\:\mathrm{define}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{siguiente}: \\ $$$$\mathrm{1}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{circunferencia}\: \\ $$$$\mathrm{con}\:\mathrm{puntos}\:\mathrm{de}\:\mathrm{contacto}\:\mathrm{en}\:\mathrm{ejes}\:\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{ademas} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{eje}\left(\:\mathrm{y}\right)\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\:\mathrm{la}\:\mathrm{grafica}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{al}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{2}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{segunda}\:\mathrm{circunferencia} \\ $$$$\mathrm{con}\:\mathrm{puntos}\:\mathrm{de}\:\mathrm{contacto}\:\mathrm{con}\:\mathrm{el}\:\mathrm{eje}\:\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{y}\:\mathrm{tangente}\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{primera}\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\: \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{grafica}\:\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{al}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5}+\mathrm{10}=\mathrm{15} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{5}\:\mathrm{no}\:\mathrm{varia} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{segunda}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{15}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{y}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{3}.−\mathrm{Localize}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tercera}\:\mathrm{circunferencia} \\ $$$$\mathrm{mutuamente}\:\mathrm{tangente}\:\mathrm{a}\:\mathrm{las}\:\mathrm{2}\:\mathrm{primeras}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{como}\:\mathrm{se}\:\mathrm{ve}\:\mathrm{en}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{grafica}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Obio}\:\mathrm{definir}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{h}=\mathrm{5}+\mathrm{5}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{Para}\:\left(\mathrm{y}\right)\:\mathrm{tenemos}\:\mathrm{que}\:\mathrm{hacer}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{siguiente}: \\ $$$$\mathrm{Uniendo}\:\mathrm{los}\:\mathrm{3}\:\mathrm{centros}\:\mathrm{de}\:\mathrm{las}\: \\ $$$$\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{se}\:\mathrm{forma}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangulo} \\ $$$$\mathrm{equilatero}\:\mathrm{con}\:\mathrm{angulo}\:\mathrm{interno}\:\mathrm{de}\:\mathrm{60}° \\ $$$$\mathrm{Ahora}\:\mathrm{trazamos}\:\mathrm{una}\:\mathrm{linea}\:\mathrm{vertical}\:\mathrm{que}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{el}\:\mathrm{vertice}\:\mathrm{superior}\:\mathrm{con}\:\mathrm{la}\:\mathrm{parte}\:\mathrm{media}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{base}. \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{esto}\:\mathrm{formamos}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangulo}\: \\ $$$$\mathrm{rectangulo}\:\mathrm{y}\:\mathrm{planteamos}\:\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{60}°=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{R}} \\ $$$$\mathrm{siendo}\:\mathrm{H}\:\mathrm{la}\:\mathrm{altura}\:\mathrm{del}\:\mathrm{triangulo} \\ $$$$\mathrm{Despejamos}\:\mathrm{H}=\mathrm{Rtan60}° \\ $$$$\mathrm{Nos}\:\mathrm{interesa}\:\mathrm{la}\:\mathrm{distancia}\:\left(\mathrm{y}\right)\:\mathrm{y}\:\mathrm{tenemos}\: \\ $$$$\mathrm{esto}: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{R}+\mathrm{R}\:\mathrm{tan60}°=\mathrm{R}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan60}°\right)= \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{5}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\left.\mathrm{3}\:\right)}\right. \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{la}\:\mathrm{ecuacion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{tercera} \\ $$$$\mathrm{circunferencia}\:\mathrm{es}: \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{10}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{Con}\:\mathrm{lo}\:\mathrm{cual}\:\mathrm{se}\:\mathrm{tienen}\:\mathrm{ya}\:\mathrm{las}\:\mathrm{3}\:\mathrm{ecuaciones} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{las}\:\mathrm{circunferencias}\:\mathrm{mutuamente} \\ $$$$\mathrm{tangentes}. \\ $$$$\mathrm{Espero}\:\mathrm{les}\:\mathrm{sea}\:\mathrm{de}\:\mathrm{utilidad}\:\mathrm{saludos} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Question Number 216726    Answers: 0   Comments: 4

Question Number 216722    Answers: 1   Comments: 0

$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Question Number 216715    Answers: 2   Comments: 0

Find ∫((Sin(((5x )/(2 ))) )/(Sin(((x )/(2 ))) )) .dx

$$\:\:\:\:\boldsymbol{{F}}{ind}\:\int\frac{\boldsymbol{{S}}{in}\left(\frac{\mathrm{5}{x}\:}{\mathrm{2}\:}\right)\:\:}{\boldsymbol{{S}}{in}\left(\frac{{x}\:}{\mathrm{2}\:}\right)\:\:\:\:\:}\:.\boldsymbol{{dx}}\:\:\: \\ $$

Question Number 216710    Answers: 0   Comments: 0

let y_1 , y_2 , y_(3 ) ... y_p be fixed positive number consider the sequences s_n = ((y_1 ^n +y_2 ^n +y_3 ^n +...+y_p ^n )/p) and x_(n ) = s_n ^(1/n) , n∈N show that {x_n } is monotonically increasing

$$\:\:\:\mathrm{let}\:{y}_{\mathrm{1}} \:,\:{y}_{\mathrm{2}} \:,\:{y}_{\mathrm{3}\:\:} ...\:{y}_{{p}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{fixed}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{number} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequences} \\ $$$$\:{s}_{{n}} \:=\:\:\frac{{y}_{\mathrm{1}} ^{{n}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{{n}} +{y}_{\mathrm{3}} ^{{n}} +...+{y}_{{p}} ^{{n}} }{{p}}\:\:\:{and}\:{x}_{{n}\:} =\:{s}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \:\:,\:\:\:{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\left\{{x}_{{n}} \right\}\:\mathrm{is}\:\mathrm{monotonically}\:\mathrm{increasing} \\ $$

Question Number 216706    Answers: 1   Comments: 4

∫ (dz/(1+sin(z)cos(z)))= ∫ ((sec^2 (z)dz)/(sec^2 (z)+tan(z))) multiply sec^2 (z) sec^2 (z)=1+tan^2 (z) ∫ ((sec^2 (z) dz)/(1+tan(z)+tan^2 (z))) s=tan(z) ds=sec^2 (z)dz ∫ (ds/(s^2 +s+1))=∫ (ds/((s+(1/2))^2 +(3/4))) = ∫ (dq/(q^2 +(3/4))) q=s+(1/2) (2/( (√3)))∫ (1/(w^2 +1)) dw w=((2q)/( (√3))) (2/( (√3)))tan^(−1) (w)+C → (2/( (√3)))tan^(−1) (((2q)/( (√3))))+C q=s+(1/4) (2/( (√3)))tan^(−1) ((2/( (√3)))(s+(1/2)))+C s=tan(z) ∴ ∫ (dz/(1+sin(z)cos(z)))=(2/( (√3)))tan^(−1) (((2tan(z)+1)/( (√3))))+C ∫_0 ^( 2π) =((4π)/( (√3)))

$$\int\:\:\:\frac{\mathrm{d}{z}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\left({z}\right)\mathrm{cos}\left({z}\right)}= \\ $$$$\int\:\:\:\frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)\mathrm{d}{z}}{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)+\mathrm{tan}\left({z}\right)}\:\mathrm{multiply}\:\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right) \\ $$$$\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left({z}\right) \\ $$$$\int\:\:\:\frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:\mathrm{d}{z}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\left({z}\right)+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)} \\ $$$${s}=\mathrm{tan}\left({z}\right) \\ $$$$\mathrm{d}{s}=\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \left({z}\right)\mathrm{d}{z} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{d}{s}}{{s}^{\mathrm{2}} +{s}+\mathrm{1}}=\int\:\:\frac{\mathrm{d}{s}}{\left({s}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{d}{q}}{{q}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$${q}={s}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\frac{\mathrm{1}}{{w}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{d}{w} \\ $$$${w}=\frac{\mathrm{2}{q}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({w}\right)+{C}\:\rightarrow\:\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{q}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{C} \\ $$$${q}={s}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left({s}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)+{C} \\ $$$${s}=\mathrm{tan}\left({z}\right) \\ $$$$\therefore\:\int\:\:\frac{\mathrm{d}{z}}{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\left({z}\right)\mathrm{cos}\left({z}\right)}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2tan}\left({z}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{C} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{2}\pi} \:=\frac{\mathrm{4}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

Question Number 216703    Answers: 1   Comments: 0

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