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Comparto otro reto de matematicas que dice literalmente: Hallar las ecuaciones de 3 circunferencias mutuamente tangentes y de radios los 3 iguales. Este reto depende en que cuadrante se representen las circunferencias yo use el primer cuadrante. Recordemos la ecuacion de la circunferencia es x^2 +y^2 =R^2 En donde tienen este significado: x es la abcisa eje horizontal. y es la ordenada eje vertical. R es el radio de la circunferencia. Claro esta circunferencia tiene su centro en el origen es decir: x=0 y=0 Ahora si deseamos representar la circunferencia desplazada a cierta distancia del origen con el centro en un nuevo punto en: x=h y=k tendremos que utilizar esta nueva ecuacion: (x−h)^2 + (y−k)^2 = R^2 Yo utilizo la aplicacion Geogebra 2D y 3D Por utilidad defini el radio R= 5 unidades de longitud pero se puede usar otro valor. Yo define lo siguiente: 1.−Localize la primera circunferencia con puntos de contacto en ejes (x) ademas de eje( y) como se ve en la grafica 1. Obio al definir esto: h=5 k=5 Con lo cual la primera ecuacion es: (x−5)^2 + (y−5)^2 = 25 2.−Localize la segunda circunferencia con puntos de contacto con el eje (x) y tangente a la primera como se ve en la grafica 2. Obio al definir esto: h=5+10=15 k=5 no varia Con lo cual la segunda ecuacion es: (x−15)^2 + (y−5)^2 = 25 3.−Localize la tercera circunferencia mutuamente tangente a las 2 primeras circunferencias como se ve en la grafica 3 Obio definir esto: h=5+5=10 Para (y) tenemos que hacer lo siguiente: Uniendo los 3 centros de las circunferencias se forma un triangulo equilatero con angulo interno de 60° Ahora trazamos una linea vertical que une el vertice superior con la parte media de la base. Con esto formamos un triangulo rectangulo y planteamos esto: tan 60°=(H/R) siendo H la altura del triangulo Despejamos H=Rtan60° Nos interesa la distancia (y) y tenemos esto: y=R+R tan60°=R(1+tan60°)= y=5(1+(√(3 ))) Con lo cual la ecuacion de la tercera circunferencia es: (x−10)^2 +(y−(1+(√3) ))^2 =25 Con lo cual se tienen ya las 3 ecuaciones de las circunferencias mutuamente tangentes. Espero les sea de utilidad saludos

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Question Number 216722 Answers: 1 Comments: 0

$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$

Question Number 216715 Answers: 2 Comments: 0

Find ∫((Sin(((5x )/(2 ))) )/(Sin(((x )/(2 ))) )) .dx

$$\:\:\:\:\boldsymbol{{F}}{ind}\:\int\frac{\boldsymbol{{S}}{in}\left(\frac{\mathrm{5}{x}\:}{\mathrm{2}\:}\right)\:\:}{\boldsymbol{{S}}{in}\left(\frac{{x}\:}{\mathrm{2}\:}\right)\:\:\:\:\:}\:.\boldsymbol{{dx}}\:\:\: \\ $$

Question Number 216710 Answers: 0 Comments: 0

let y_1 , y_2 , y_(3 ) ... y_p be fixed positive number consider the sequences s_n = ((y_1 ^n +y_2 ^n +y_3 ^n +...+y_p ^n )/p) and x_(n ) = s_n ^(1/n) , n∈N show that {x_n } is monotonically increasing

$$\:\:\:\mathrm{let}\:{y}_{\mathrm{1}} \:,\:{y}_{\mathrm{2}} \:,\:{y}_{\mathrm{3}\:\:} ...\:{y}_{{p}} \:\mathrm{be}\:\mathrm{fixed}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{number} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequences} \\ $$$$\:{s}_{{n}} \:=\:\:\frac{{y}_{\mathrm{1}} ^{{n}} +{y}_{\mathrm{2}} ^{{n}} +{y}_{\mathrm{3}} ^{{n}} +...+{y}_{{p}} ^{{n}} }{{p}}\:\:\:{and}\:{x}_{{n}\:} =\:{s}_{{n}} ^{\mathrm{1}/{n}} \:\:,\:\:\:{n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\left\{{x}_{{n}} \right\}\:\mathrm{is}\:\mathrm{monotonically}\:\mathrm{increasing} \\ $$

Question Number 216706 Answers: 1 Comments: 4

∫ (dz/(1+sin(z)cos(z)))= ∫ ((sec^2 (z)dz)/(sec^2 (z)+tan(z))) multiply sec^2 (z) sec^2 (z)=1+tan^2 (z) ∫ ((sec^2 (z) dz)/(1+tan(z)+tan^2 (z))) s=tan(z) ds=sec^2 (z)dz ∫ (ds/(s^2 +s+1))=∫ (ds/((s+(1/2))^2 +(3/4))) = ∫ (dq/(q^2 +(3/4))) q=s+(1/2) (2/( (√3)))∫ (1/(w^2 +1)) dw w=((2q)/( (√3))) (2/( (√3)))tan^(−1) (w)+C → (2/( (√3)))tan^(−1) (((2q)/( (√3))))+C q=s+(1/4) (2/( (√3)))tan^(−1) ((2/( (√3)))(s+(1/2)))+C s=tan(z) ∴ ∫ (dz/(1+sin(z)cos(z)))=(2/( (√3)))tan^(−1) (((2tan(z)+1)/( (√3))))+C ∫_0 ^( 2π) =((4π)/( (√3)))

Question Number 216703 Answers: 1 Comments: 0