Question Number 97627 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20 | ||
$$\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20 | ||
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{arctanx}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{c}\:\:\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{tan}\theta\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{n}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\:\:\frac{\mathrm{tan}^{\mathrm{n}} \theta}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \theta\right)\mathrm{d}\theta\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\:\mathrm{tan}^{\mathrm{n}} \:\theta\:\mathrm{d}\theta \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{w}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20 | ||
$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctant}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctant}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{arctanx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctanx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{u}\mid<\mathrm{1}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{with}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctanx}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \right)\:\mathrm{arctanx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} \right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$$$ \\ $$ | ||