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Question Number 96375 by mathmax by abdo last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{let}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)...\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \right) \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{solve}\:\mathrm{inside}\:\mathrm{C}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{factorize}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{inside}\:\mathrm{C}\left[\mathrm{x}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{calvulate}\:\mathrm{P}^{'} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205 last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{1}/\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } +\mathrm{1}=\mathrm{0}\left(\mathrm{n}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},...\right)\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } =−\mathrm{1}=\left[\mathrm{cos}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\left[\mathrm{cos}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi\right]^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }} \\ $$$$=\mathrm{cos}\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }+\mathrm{i}.\mathrm{sin}\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\left(\mathrm{k}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\right. \\ $$$$\left....,\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right).\mathrm{It}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that}\:\mathrm{eq}.\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{has} \\ $$$$\mathrm{2}+\mathrm{4}+\mathrm{8}+...+\mathrm{2}^{\mathrm{n}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{roots} \\ $$$$\mathrm{2}/\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } {\Pi}}\:\:\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}} {\Pi}}\left(\mathrm{cos}\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }+\mathrm{i}.\mathrm{sin}\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right) \\ $$$$\mathrm{3}/\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow\mathrm{P}\:'\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}} +\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by abdomathmax last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{by}\:\mathrm{recurrence}\:\mathrm{that} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)....\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \right)\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\neq\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{true}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{suppose} \\ $$$$\left(\mathrm{p}_{\mathrm{n}} \right)\mathrm{true}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)....\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)....\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }×\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \right)\:=\frac{\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} } }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{at}\:\mathrm{term}\:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\neq\overset{−} {+}\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } =\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{let}\:\:\mathrm{m}\:=\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\:\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{m}} \:=\mathrm{1}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}\pi\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{m}}\right)} \:\mathrm{k}\in\left\{\mathrm{0},....\mathrm{m}−\mathrm{1}\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)} \:\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\in\left\{\mathrm{1},....\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right\}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \\ $$ | ||
Commented by abdomathmax last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{2}.\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:=\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } ^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)} \right) \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by abdomathmax last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{3}.\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{m}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{P}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{mx}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{m}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{mx}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} \:−\mathrm{mx}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{m}−\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{mx}^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{P}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}} +\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ | ||
Commented by abdomathmax last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{4}.\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } ^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)} \right)} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{2}^{\mathrm{n}} } ^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{1}} \:} \:\:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\right)} } \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{P}^{'} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \right)} \\ $$ | ||
Commented by abdomathmax last updated on 01/Jun/20 | ||
$$\mathrm{P}^{'} \left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \right)\:=\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \right)^{\mathrm{2}^{\mathrm{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}} \:+\mathrm{2x}_{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$ | ||