Question Number 95093 by I want to learn more last updated on 22/May/20 | ||
$$\mathrm{Solve}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:\:=\:\:\mathrm{13}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.......\:\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:\:+\:\:\mathrm{3y}\:\:=\:\:\mathrm{2xy}^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.......\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$ | ||
Answered by behi83417@gmail.com last updated on 23/May/20 | ||
$$\left(\mathrm{2}×\mathrm{i}−\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}=\mathrm{26}−\mathrm{2xy}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{26}+\mathrm{3y}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{26}+\mathrm{3y}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{13} \\ $$$$\left(\mathrm{26}+\mathrm{3y}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{6}} =\mathrm{52y}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{676}+\mathrm{9y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{156y}−\mathrm{104y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4y}^{\mathrm{6}} =\mathrm{52y}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4y}^{\mathrm{6}} −\mathrm{48y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{95y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{156y}+\mathrm{676}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)\left(\:\:\mathrm{p}\left(\mathrm{y}\right)\:\:\right)=\mathrm{0}\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{2}\:\:,\pm\mathrm{3}.\mathrm{6},−\mathrm{1}.\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{3},\pm\mathrm{0}.\mathrm{43},\mathrm{3}.\mathrm{14} \\ $$ | ||
Commented by I want to learn more last updated on 23/May/20 | ||
$$\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir} \\ $$ | ||
Answered by 1549442205 last updated on 23/May/20 | ||
$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{13}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} ,\mathrm{putting}\:\mathrm{into} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\:\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{26x}}{\mathrm{3}}.\mathrm{Squaring} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{6}\:} +\mathrm{8x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{676x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{104x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{104x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{9}}. \\ $$$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{4x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{8x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{100x}^{\mathrm{4}} − \\ $$$$\mathrm{104x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{685x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{117}=\mathrm{0}.\mathrm{This}\:\mathrm{equation}\:\:\mathrm{has}\:\:\mathrm{four}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}: \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{0}.\mathrm{4058529736}\:\mathrm{and}\:\mathrm{0}.\mathrm{4337536916},\mathrm{x}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\:\mathrm{and}\:\mathrm{Res} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{4}} =\mathrm{3}.\mathrm{23939445877281} \\ $$$$\mathrm{pectively},\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{3}.\mathrm{582636371}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}.\mathrm{579365549},\mathrm{y}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{4}} =\mathrm{1}.\mathrm{583137246}.\mathrm{Thus},\mathrm{our}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{equations}\:\mathrm{has}\:\mathrm{four}\:\mathrm{solutions}: \\ $$$$\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)\in\left\{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ;\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right);\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ;\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right);\left(\mathrm{x}_{\mathrm{3}} ,\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right);\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} ;\mathrm{y}_{\mathrm{4}} \right)\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\left[\:\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:\right]\:\mathrm{dx}\:+\:\left[\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:\right]\mathrm{dy}=\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented by I want to learn more last updated on 23/May/20 | ||
$$\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir} \\ $$ | ||