Question Number 72359 by aliesam last updated on 27/Oct/19 | ||
Commented by mind is power last updated on 27/Oct/19 | ||
$$\mathrm{nice}\:\mathrm{one}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{thanx} \\ $$ | ||
Commented by aliesam last updated on 27/Oct/19 | ||
$${thank}\:{you}\:{sir}\: \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by mind is power last updated on 27/Oct/19 | ||
$$ \\ $$$$\mathrm{E}=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{xlog}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{5}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}}\right)=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{5}}\right)=\frac{\mathrm{2}.\left(\mathrm{6}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)}{\mathrm{16}}−\mathrm{1}=\frac{−\mathrm{4}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{16}}=−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\left(−\mathrm{log}\left(\mathrm{t}\right)\right)}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{} }+\mathrm{1}\right)}.\frac{−\mathrm{dt}}{\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{t}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \right)}=−\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{0}\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{E}=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{xlog}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{xlog}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{b}+\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{a}−\mathrm{c}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{b}−\mathrm{d}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right)}{\sqrt{\mathrm{5}}},\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{3}\right)}{\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)}{\sqrt{\mathrm{5}}},\mathrm{d}=\frac{−\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)}{\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right.}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\frac{\mathrm{xlog}\left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{−\mathrm{xlog}\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{just}\:\mathrm{integrat}\:\mathrm{bee}\:\mathrm{continued} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||