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Question Number 68592 by Abdo msup. last updated on 14/Sep/19 | ||
$${find}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$ | ||
Commented by Abdo msup. last updated on 16/Sep/19 | ||
$${let}\:{S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:{we}\:{have}\:{S}={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}} \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${b}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {x}^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${e}={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} {F}\left({x}\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:{xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}={a}\:+{c}\:\Rightarrow{c}=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:={a}+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+{d}\:=−\mathrm{4} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+{a}\:+{d}−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{a}\:+{d}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow−\mathrm{1}=\mathrm{2}{a}\:+\mathrm{4}{d}−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{d}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}+\mathrm{2}{d}\:=\mathrm{1}\:\:\:{but}\:{d}=−\mathrm{2}{a}−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$${a}−\mathrm{4}{a}−\mathrm{8}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow−\mathrm{3}{a}=\mathrm{9}\:\Rightarrow{a}=−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{d}=−\mathrm{2}{a}−\mathrm{4}\:=\mathrm{6}−\mathrm{4}=\mathrm{2} \\ $$$${F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{F}\left({k}\right)=−\mathrm{3}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:+\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{3}\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{2}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\: \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:={H}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }\:=\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}{H}_{{n}} \:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)\:+\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =−\mathrm{3}{H}_{{n}} \:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{3}\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$+\mathrm{2}\left(\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)\:+\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{3}\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −{H}_{{n}} \right)\:+\xi_{{n}} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)+\xi_{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6} \\ $$$${but}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\left({H}_{{n}+\mathrm{1}} −{H}_{{n}} \right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{S}_{{n}} =\:\mathrm{3}\xi\left(\mathrm{2}\right)+\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6} \\ $$$$=\mathrm{3}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:+\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}\:\:{with} \\ $$$$\xi\left(\mathrm{3}\right)\sim\mathrm{1},\mathrm{2} \\ $$ | ||
Commented by Abdo msup. last updated on 16/Sep/19 | ||
$$\xi_{{n}} \left({x}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{x}} } \\ $$ | ||