Question Number 68370 by mhmd last updated on 09/Sep/19 | ||
Answered by MJS last updated on 09/Sep/19 | ||
$$\int\frac{{dt}}{\sqrt{\mathrm{e}^{{t}} −\mathrm{1}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{u}=\sqrt{\mathrm{e}^{{t}} −\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{dt}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{e}^{{t}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{e}^{{t}} }{du}\right] \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{du}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{2arctan}\:{u}\:=\mathrm{2arctan}\:\sqrt{\mathrm{e}^{{t}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\left[\mathrm{2arctan}\:\sqrt{\mathrm{e}^{{t}} −\mathrm{1}}\overset{\mathrm{2ln}\:\mathrm{2}} {\right]}_{{a}} =\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{2arctan}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\mathrm{2arctan}\:\sqrt{\mathrm{e}^{{a}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\frac{\pi}{\mathrm{3}}−\mathrm{arctan}\:\sqrt{\mathrm{e}^{{a}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{12}} \\ $$$$\mathrm{arctan}\:\sqrt{\mathrm{e}^{{a}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$... \\ $$$${a}=\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$ | ||