Question Number 68149 by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 06/Sep/19 | ||
$$\:{Explicit}\:\:\:{f}\left({a}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left({an}+\mathrm{1}\right)}\:\:\:\: \\ $$ | ||
Commented by turbo msup by abdo last updated on 06/Sep/19 | ||
$${if}\:{a}=\mathrm{0}\:\:\:{f}\left(\mathrm{0}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}} \\ $$$$=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${if}\:{a}\neq\mathrm{0}\:\:\:{we}\:{have}\:\frac{{f}\left({a}\right)}{{a}}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}\left({an}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{{an}}−\frac{\mathrm{1}}{{an}+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{{a}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}+\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:{s}\left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}+\mathrm{1}}{x}^{{an}+\mathrm{1}} \:\:{with}\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$${s}\left(\mathrm{1}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}+\mathrm{1}} \\ $$$${s}^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{{an}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−{x}^{{a}} \right)^{{n}} \:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{{a}} }\:\Rightarrow \\ $$$${s}\left({x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\:\:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }\:+{c} \\ $$$${s}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}={c}\:\Rightarrow{s}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }\:\Rightarrow \\ $$$${s}\left(\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }\:\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{{f}\left({a}\right)}{{a}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{{a}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({a}\right)\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)−{a}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} } \\ $$$${be}\:{continued}.... \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 06/Sep/19 | ||
$${error}\:{from}\:{line}\:\mathrm{10}\:\:{s}^{'} \left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−{x}^{{a}} \right)^{{n}} \:=−{x}^{{a}} \sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−{x}^{{a}} \right)^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−{x}^{{a}} \sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−{x}^{{a}} \right)^{{n}} \:=\frac{−{x}^{{a}} }{\mathrm{1}+{x}^{{a}} }\:\Rightarrow{s}\left({x}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\frac{{t}^{{a}} }{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }{dt}\:+{c} \\ $$$${s}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:={c}\:\Rightarrow{s}\left({x}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\frac{{t}^{{a}} }{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{an}+\mathrm{1}}\:={s}\left(\mathrm{1}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{t}^{{a}} }{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }{dt}\:\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}+{t}^{{a}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }{dt} \\ $$$$=−\mathrm{1}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{{dt}}{\mathrm{1}+{t}^{{a}} }\:\:\:\:{be}\:{continued}... \\ $$ | ||