Question Number 67374 by mathmax by abdo last updated on 26/Aug/19 | ||
$${find}\:\int\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right){arctan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){dx} \\ $$ | ||
Commented by Abdo msup. last updated on 27/Aug/19 | ||
$${let}\:{I}\:=\int\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right){arcran}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){dx}\:{by}\:{psrts} \\ $$$${u}^{'} =\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:{and}\:{v}\:={arctan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){arctan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\int\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)×\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){arctan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\int\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{3}} }×\frac{{dx}}{\mathrm{1}+\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){srcran}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\int\:\:\:\:\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right){dx}}{{x}^{\mathrm{3}\:} \:+{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int\:\:\:\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right){dx}}{{x}^{\mathrm{3}} \:+{x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)}\:=\int\:\:\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right){dx}}{{x}^{\mathrm{3}} \:+{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+{x}} \\ $$$$=\int\:\:\:\frac{\left({x}−\mathrm{1}\right){dx}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+{x}}\:\:{let}\:{decompose} \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:+{x}}\:=\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Delta^{'} =\:\mathrm{1}−\mathrm{2}\:<\mathrm{0}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{bx}\:+{c}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}} \\ $$$${a}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {xF}\left({x}\right)\:=−\mathrm{1} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:{xF}\left({x}\right)\:=\mathrm{0}\:={a}+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+{b}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow{b}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{2}{x}+{c}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}=−\mathrm{1}\:+\frac{\mathrm{2}+{c}}{\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}+{c}\:\Rightarrow{c}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:{F}\left({x}\right){dx}\:=−{ln}\mid{x}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{4}{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$=−{ln}\left(\mid{x}\mid\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)+{c}\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right){arctan}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)+{ln}\mid{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)+{C} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 27/Aug/19 | ||
$${let}\:{it}\:{be}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$${when}\:{stating}\:{u}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\Leftrightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\:\Rightarrow\:{dx}=\frac{{du}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$${f}\left({x}\right)={g}\left({u}\right)=\int\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\right]{arctanu}\:{du} \\ $$$$\:{by}\:{parts}\:\:\:{A}'=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:+{u}\:\:\:\:\:{B}={arctanu}\:\Rightarrow\:{A}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:\:\:{and}\:\:{B}'=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$${f}\left({x}\right)={g}\left({u}\right)=\:\left[\frac{{arctanu}}{\mathrm{1}−{u}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){arctanu}\right]−\int\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} \right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\right]{du} \\ $$$${Now}\:{let}\:{find}\:\:\:\:{h}\left({u}\right)=\int\:\frac{{du}}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\frac{\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\left({u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{u}\right)\left({u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:{du}\:\:\: \\ $$$${h}\left({u}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}}\:+\:\frac{\mathrm{1}+{u}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:\right]\:{du}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{{du}}{\mathrm{1}−{u}}\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{{du}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\mathrm{2}{u}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\:{du}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\mathrm{1}−{u}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{arctanu}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\mid\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} \mid\:+\:{c} \\ $$$${finally}\: \\ $$$$\:{knowing}\:{that}\:{u}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)={g}\left({u}\right)=\frac{{arctanu}}{\mathrm{1}−{u}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}} {arctanu}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\mid\mathrm{1}−{u}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\mid\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} \mid−\frac{{u}}{\mathrm{2}}\:+{c}\: \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by Abdo msup. last updated on 27/Aug/19 | ||
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$ | ||