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Question Number 64819 by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/19 | ||
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/19 | ||
$${let}\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:\:\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{letdecompose}\:{F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${c}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} \:{x}^{\mathrm{3}} \:{F}\left({x}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$$${e}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:{F}\left({x}\right)\:=\frac{−\mathrm{1}}{−\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \:{xF}\left({x}\right)\:=\mathrm{0}\:={a}+{d}\:\Rightarrow{d}\:=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:={a}+{b}\:+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{3}\:=\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{b}+\mathrm{4}−\mathrm{2}{a}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}=\mathrm{2}{a}\:+\mathrm{4}{b}+\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{b}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}+\mathrm{2}{b}\:=−\mathrm{1} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{−\mathrm{8}}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{b}}{\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:+{a}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\:=−\mathrm{4}{a}\:+\mathrm{2}{b}−\mathrm{1}\:+\mathrm{8}{a}+\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{3}\:=\mathrm{4}{a}\:+\mathrm{2}{b}+\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{4}{a}+\mathrm{2}{b}\:=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{a}+{b}\:=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{b}\:=−\mathrm{2}−\mathrm{2}{a}\:\Rightarrow{a}\:+\mathrm{2}\left(−\mathrm{2}−\mathrm{2}{a}\right)\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${a}−\mathrm{4}−\mathrm{4}{a}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow−\mathrm{3}{a}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow{a}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{b}\:=−\mathrm{2}−\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${we}\:{know}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:{if}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${also}\:\delta\left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{{x}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{x}} −\mathrm{1}\right)\xi\left({x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:−\mathrm{1}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}\right)\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\xi\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:−\mathrm{1}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$${S}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)\:+{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{1} \\ $$$${S}=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:−\mathrm{2}\:. \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 24/Jul/19 | ||
$${S}\:=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:−\mathrm{2}\:. \\ $$ | ||