Question Number 63162 by Rio Michael last updated on 29/Jun/19 | ||
$${Find}\:{the}\:{set}\:{of}\:{values}\:{of}\:{x}\:{which}\:{satisfy}\:{the}\:{inequalities}\: \\ $$ $$\frac{\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\:{and}\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{3}{x}\mid+\mathrm{2}<\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented byPrithwish sen last updated on 30/Jun/19 | ||
$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mid\mathrm{3x}\mid\:+\mathrm{2}\:<\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{2}<\:\mathrm{0}\:\left(\:\because\:\mathrm{x}\leqslant−\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\mathrm{i}.\mathrm{e}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{either}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{or} \\ $$ $$\:\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)<\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)>\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{and}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)>\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:−\mathrm{1}<\mathrm{x}<−\mathrm{2}\: \\ $$ $$\because\:\mathrm{x}\leqslant\:−\mathrm{1}\:\:\therefore\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{only}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$ $$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<−\mathrm{1} \\ $$ $$\mathrm{please}\:\mathrm{check}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}. \\ $$ | ||
Commented byRio Michael last updated on 02/Jul/19 | ||
$${i}\:{think}\:{it}\:{makes}\:{sense}..{but}\:{explicit}\:{for}\:{O}\:{level}\:{students}\:{u}\:{know}.. \\ $$ $${A}\:{level}\:{students}\:{can}\:{understand} \\ $$ | ||
Commented bymathmax by abdo last updated on 30/Jun/19 | ||
$$\left({e}_{\mathrm{1}} \right)\:{for}\:{x}\neq\mathrm{0}\:{and}\:{x}\neq\mathrm{1}\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}\:\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\Leftrightarrow\frac{\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}{x}−{x}+\mathrm{1}}{{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)}\:\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$ $$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)}\:\leqslant\mathrm{0} \\ $$ $${x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$ $${x}+\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$ $${x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$ $$\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)\:\:\:\:}\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$ $$\left.\Rightarrow\left.\:\left.{D}_{\mathrm{1}} =\:\right]−\infty\:,−\mathrm{1}\right]\:\cup\:\:\right]\mathrm{0},\mathrm{1}\left[\right. \\ $$ $$\left({e}_{\mathrm{2}} \right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\mid{x}\mid\:+\mathrm{2}\:<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid{x}\mid−\mathrm{3}\mid{x}\mid\:+\mathrm{2}\:<\mathrm{0} \\ $$ $$\Delta\:=\mathrm{9}−\mathrm{8}\:=\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\:\mid{x}\mid_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{2}\:\Rightarrow{x}\:=\overset{−} {+}\mathrm{2} \\ $$ $$\mid{x}\mid_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}\:=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\mid{x}\mid+\mathrm{2}\:=\left(\mid{x}\mid−\mathrm{1}\right)\left(\mid{x}\mid−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\left.\left({e}_{\mathrm{2}} \right)\:\Rightarrow\:\left(\mid{x}\mid−\mathrm{1}\right)\left(\mid{x}\mid−\mathrm{2}\right)\:<\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\mid{x}\mid\:\in\right]\mathrm{1},\mathrm{2}\left[\:\Rightarrow\:\mathrm{1}<\mid{x}\mid<\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\right. \\ $$ $$\left.\mathrm{1}<\mid{x}\mid\:\Rightarrow{x}>\mathrm{1}\:{or}\:{x}<−\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}\:\in\right]−\infty,−\mathrm{1}\left[\cup\right]\mathrm{1},+\infty\left[\right. \\ $$ $$\left.\mid{x}\mid<\mathrm{2}\:\Rightarrow−\mathrm{2}<{x}<\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\cap\:=\right]−\mathrm{2},−\mathrm{1}\left[\cup\right]\mathrm{1},\mathrm{2}\left[\:={D}_{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\right. \\ $$ $${D}\:={D}_{\mathrm{1}} \cap{D}_{\mathrm{2}} =.... \\ $$ | ||
Answered by ajfour last updated on 30/Jun/19 | ||
$$\:\:\:\mathrm{1}<\mid{x}\mid<\mathrm{2} \\ $$ $$\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{1}<{x}<\mathrm{2}}\\{{x}\:\leqslant−\mathrm{1}}\end{cases}\:\:\:\:\:\:{or}\:\:\:\:\begin{cases}{−\mathrm{2}<{x}<−\mathrm{1}}\\{{x}\:\leqslant−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$ $$\Rightarrow\:\:{x}\in\phi\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{or}\:\:\:\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\:{x}\:<−\mathrm{1} \\ $$ $${hence}\:\:{x}\in\left(−\mathrm{1},−\mathrm{2}\right). \\ $$ | ||