Question Number 57415 by Abdo msup. last updated on 03/Apr/19 | ||
$${solve}\:\left({x}−\mathrm{1}\right){y}^{'} \:+\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right){y}\:={x}\:{e}^{−\mathrm{2}{x}} \\ $$ | ||
Commented by maxmathsup by imad last updated on 12/Apr/19 | ||
$${due}\:{to}\:\sqrt{{x}}{we}\:{must}\:{have}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\:\:\left({ed}\right)\:\Leftrightarrow\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{{x}}+\mathrm{1}\right){y}^{'} +\left(\sqrt{\:{x}}+\mathrm{1}\right){y}\:={xe}^{−\mathrm{2}{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right){y}^{'} \:+{y}\:=\frac{{x}}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}\:{e}^{−\mathrm{2}{x}} \:\:\:\left({e}\right) \\ $$$$\left({he}\right)\:\Rightarrow\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right){y}^{'} \:+{y}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right){y}^{'} \:=−{y}\:\Rightarrow\frac{{y}^{'} }{{y}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$${ln}\mid{y}\mid\:=−\int\:\:\frac{{dx}}{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\:=_{\sqrt{{x}}={t}} \:\:\:−\int\:\:\:\frac{\mathrm{2}{tdt}}{{t}−\mathrm{1}}\:=−\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{{t}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{{t}−\mathrm{1}}\:{dt}\:=−\mathrm{2}{t}\:−\mathrm{2}{ln}\mid{t}−\mathrm{1}\mid\:+{c}\:\Rightarrow \\ $$$${y}\left({x}\right)\:=\frac{{K}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{e}^{−\mathrm{2}{t}} \:\:=\frac{{K}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \:\:{let}\:{use}\:{mvc}\:{method}\:\:{we}\:{have} \\ $$$${y}^{'} \left({x}\right)\:={K}^{'} \left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{2}} \:{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \:\:+{K}\:\left\{\:−\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{3}} \:{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \:−\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\:\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{2}} \:{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \right\} \\ $$$$={K}^{'} \left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{2}} \:{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \:\:−\frac{{K}}{\sqrt{{x}}}\left\{\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} \:\:\:{and}\:\left({e}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)\frac{{K}^{'} }{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{{K}}{\sqrt{{x}}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\right\}\:\:+\frac{{K}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{{x}}{\sqrt{{x}}\:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{{K}^{'} }{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}\:−\frac{{K}}{\sqrt{{x}}}\left\{\frac{\sqrt{{x}}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}\:+\frac{{K}}{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{{x}}{\sqrt{{x}}\:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow{K}^{'} \:=\frac{{x}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$${K}\left({x}\right)\:=\int\:\:\frac{{x}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}\:{dx}\:+{c}\:\:{but} \\ $$$$\int\:\:\frac{{x}\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)}{\sqrt{{x}}+\mathrm{1}}\:{dx}\:=_{\sqrt{{x}}={t}} \:\:\:\int\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \left({t}−\mathrm{1}\right)}{{t}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{2}{t}\right){dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{{t}^{\mathrm{3}} −{t}^{\mathrm{2}} }{{t}+\mathrm{1}}\:{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\:\:\frac{{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}\:−{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\:{dt}\:=\mathrm{2}\:\int\:\left({t}^{\mathrm{2}} −{t}+\mathrm{1}\right)\:−\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} \:−{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:\:\:−\mathrm{2}\:\int\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{1}\:+\mathrm{2}}{{t}+\mathrm{1}}\:{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} \:−{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{t}\:−\mathrm{2}\:\int\left({t}−\mathrm{1}\right){dt}\:−\mathrm{4}{ln}\mid{t}+\mathrm{1}\mid \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{t}\:−\mathrm{4}{ln}\mid{t}+\mathrm{1}\mid\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left(\sqrt{{x}}\right)^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{4}\sqrt{{x}}\:−\mathrm{4}{ln}\mid\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\mid\:\Rightarrow \\ $$$${K}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{3}}\sqrt{{x}}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\sqrt{{x}}\:−\mathrm{4}{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)+{c}\:\Rightarrow \\ $$$${y}\left({x}\right)\:=\frac{{e}^{−\mathrm{2}\sqrt{{x}}} }{\left(\sqrt{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{x}\sqrt{{x}}−\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{4}\sqrt{{x}}−\mathrm{4}{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}}\right)\:+{C}\right\}\:. \\ $$$$ \\ $$ | ||