Question Number 201557 by hardmath last updated on 08/Dec/23
$$\mathrm{5}\:\centerdot\:\underset{\:\mathrm{50}} {\underbrace{\mathrm{555}...\mathrm{5}}} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{digits}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{product}. \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{5}.\mathrm{5}=\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{5}.\mathrm{55}=\mathrm{5}.\mathrm{50}+\mathrm{5}.\mathrm{5}=\mathrm{250}+\mathrm{25}=\mathrm{275} \\ $$$$\mathrm{5}.\mathrm{555}=\mathrm{5}.\mathrm{500}+\mathrm{5}.\mathrm{55}=\mathrm{2500}+\mathrm{275}=\mathrm{2775} \\ $$$$... \\ $$$$\mathrm{5}.\mathrm{555}...\mathrm{5}=\mathrm{277}...\mathrm{775} \\ $$$${in}\:{this}\:{case} \\ $$$$\mathrm{5}\:\centerdot\:\underset{\:\mathrm{50}} {\underbrace{\mathrm{555}...\mathrm{5}}}\:=\:\mathrm{2}\underset{\mathrm{49}} {\underbrace{\mathrm{7}...\mathrm{7}}}\:\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{sum}\:{of}\:{digits}\:{is}\:\mathrm{7}.\mathrm{50}=\mathrm{350} \\ $$
Commented by hardmath last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thankyou} \\ $$
Answered by mr W last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{5}×\underset{{n}\:{times}} {\mathrm{555}...\mathrm{5}} \\ $$$$=\mathrm{25}×\underset{{n}\:{times}} {\mathrm{111}...\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{25} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{25} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{25} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:... \\ $$$$\underline{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{25}} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\left({n}−\mathrm{1}\right)\:{times}} {\mathrm{777}...\mathrm{7}5} \\ $$$${sum}\:{of}\:{digits}\:=\mathrm{2}+\mathrm{7}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}=\mathrm{7}{n} \\ $$$${with}\:{n}=\mathrm{50}\:{we}\:{have}\:\mathrm{7}×\mathrm{50}=\mathrm{350}\:\checkmark \\ $$
Commented by hardmath last updated on 09/Dec/23
$$\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{thankyou} \\ $$