Question Number 195435 by universe last updated on 02/Aug/23
$$\sqrt{\mathrm{5}+\mathrm{1}\sqrt{\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{...}}}}}\:\:=\:\:\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 02/Aug/23
$$\mathrm{3}=\sqrt{\mathrm{9}}=\sqrt{\mathrm{5}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{4}=\mathrm{1}×\mathrm{4}=\mathrm{1}×\sqrt{\mathrm{16}}=\mathrm{1}×\sqrt{\mathrm{6}+\mathrm{10}} \\ $$$$\mathrm{10}=\mathrm{2}×\mathrm{5}=\mathrm{2}×\sqrt{\mathrm{25}}=\mathrm{2}×\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{18}} \\ $$$$\mathrm{18}=\mathrm{3}×\mathrm{6}=\mathrm{3}×\sqrt{\mathrm{36}}=\mathrm{3}×\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{28}} \\ $$$$\mathrm{28}=\mathrm{4}×\mathrm{7}=\mathrm{4}×\sqrt{\mathrm{49}}=\mathrm{4}×\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{40}} \\ $$$$\mathrm{40}=\mathrm{5}×\mathrm{8}=\mathrm{5}×\sqrt{\mathrm{64}}=\mathrm{5}×\sqrt{\mathrm{10}+\mathrm{54}} \\ $$$$\mathrm{54}=\mathrm{6}×\mathrm{9}=\mathrm{6}×\sqrt{\mathrm{81}}=\mathrm{6}×\sqrt{\mathrm{11}+\mathrm{70}} \\ $$$$... \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}=\sqrt{\mathrm{5}+\mathrm{1}\sqrt{\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{10}+...}}}}}} \\ $$
Commented by Frix last updated on 02/Aug/23
You ��️ are too fast for me ��
Answered by Frix last updated on 02/Aug/23
$$\mathrm{3} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{5}+\mathrm{1}\sqrt{\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{...}}}}}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{1}\sqrt{\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{...}}}}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{...}}}=\mathrm{2}×\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{...}}=\mathrm{3}×\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{4}\sqrt{...}=\mathrm{4}×\mathrm{7} \\ $$$$... \\ $$