Algebra Questions

Question Number 49604 by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:\leqslant\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\$$

Answered by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{let}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({a}\:−\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\mathrm{0} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{2}{ab}\:+\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\mathrm{0} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} \:+\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\mathrm{2}{ab} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} +\:\mathrm{2}{ab}\:+\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\mathrm{2}{ab}\:+\:\mathrm{2}{ab} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\mathrm{4}\left({ab}\right) \\$$$$\\$$$$\mathrm{meanwhile}\:\::\:\:{ab}\:\:=\:\:\frac{\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\:\left({a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \right)\:}{\mathrm{2}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\:\mathrm{4}\left(\frac{\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\left({a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2}}\right) \\$$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}\:} \:\geqslant\:\:\mathrm{2}\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\left({a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \right)\right] \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:−\mathrm{2}\left({a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:\leqslant\:\:\left({a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$\\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\: \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{please}\:\mathrm{help}\:\mathrm{with}\:\mathrm{this}\:\mathrm{too} \\$$$$\\$$$$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}:\:\:\:\:\:\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{\mathrm{abcd}}\:\:\:=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\left(\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}\:+\:\mathrm{d}\right) \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\:\:\mathrm{Arithmaric}\:\mathrm{Mean}\:=\:\:\frac{{a}\:+\:{b}\:+\:{c}\:+\:{d}}{\mathrm{4}} \\$$$$\:\:\mathrm{Geometric}\:\mathrm{Mean}\:\:=\:\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{{abcd}^{} } \\$$$$\\$$$$\:\:\mathrm{Arithmatic}\:\mathrm{Mean}\:\:\geqslant\:\:\mathrm{Geometric}\:\mathrm{Mean} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({a}\:+\:{b}\:+\:{c}\:+\:{d}\right)\:\:\geqslant\:\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{{abcd}^{} }\: \\$$$$\:\:\mathrm{so},\:\mathrm{the}\:\mathrm{equalty}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{achieved}\:\mathrm{only} \\$$$$\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{if}\:\mathrm{only}\:: \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}\:=\:{b}=\:{c}\:=\:{d} \\$$$$\:\:\mathrm{then}\: \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left({a}\:+\:{b}\:+\:{c}\:+\:{d}\right)\:\:=\:\:\sqrt[{\mathrm{4}}]{{abcd}^{} }\: \\$$$$\\$$$$\\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{ur}\:\mathrm{welcome},\:\mathrm{Sir}. \\$$$$\mathrm{Pardon}\:\mathrm{me},\:\mathrm{are}\:\mathrm{u}\:\mathrm{an}\:\mathrm{Indonesian}\:? \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{No}\:\mathrm{sir} \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{nevermind}\:\mathrm{Sir}. \\$$$$\left.\mathrm{i}'\mathrm{m}\:\mathrm{just}\:\mathrm{asking}\:\mathrm{Sir}.\::\right) \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{Ok}\:\mathrm{sir} \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{What}\:\mathrm{if}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}:\:\:\:\:\:\:\left(\frac{\mathrm{a}+\:\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\leqslant\:\:\frac{\mathrm{a}\:+\mathrm{b}}{\mathrm{2}} \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{How}\:\mathrm{will}\:\mathrm{the}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{be} \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\:\:\mathrm{i}\:\mathrm{had}\:\mathrm{given}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2}\:\mathrm{solutuions}\:\mathrm{earlier}\:\mathrm{Sir}. \\$$$$\:\:\mathrm{what}\:\mathrm{kind}\:\mathrm{of}\:\mathrm{proof}\:\mathrm{else}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sesrching} \\$$$$\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{Sir}\:??\:\mathrm{i}'\mathrm{m}\:\mathrm{sorry}\:\mathrm{i}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{get}\:\mathrm{it}. \\$$$$\\$$

Answered by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{according}\:\mathrm{to}\:\:\boldsymbol{\mathrm{QM}}−\boldsymbol{\mathrm{AM}} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{QM}}\:\:\geqslant\:\:\boldsymbol{\mathrm{AM}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\:\frac{\:{a}^{\mathrm{2}^{} } \:+\:\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:}{\mathrm{2}}\:\:}\geqslant\:\:\frac{\:{a}\:+\:{b}\:}{\:\mathrm{2}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{then}}\:\boldsymbol{\mathrm{square}}\:\boldsymbol{\mathrm{both}}\:\boldsymbol{\mathrm{sides}}. \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\:{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:}{\mathrm{2}}\:\:\geqslant\:\:\frac{\:\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\mathrm{4}_{} } \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} +\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:\geqslant\:\:\frac{\left({a}\:+\:{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\$$$$\\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\:\mathrm{QM}\:\mathrm{and}\:\mathrm{AM}\:\mathrm{sir} \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome},\mathrm{Sir} \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$??? \\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{quadratic}\:\mathrm{mean}\:\mathrm{and} \\$$$$\mathrm{arithmaric}\:\mathrm{mean} \\$$

Commented by Tawa1 last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time} \\$$$$\\$$

Commented by afachri last updated on 08/Dec/18

$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{been}\:\mathrm{my}\:\mathrm{pleasure}\:\mathrm{Sir} \\$$