Question Number 44527 by Necxx last updated on 30/Sep/18 | ||
Commented by Necxx last updated on 30/Sep/18 | ||
$$\mathrm{21}\:{please} \\ $$ | ||
Commented by maxmathsup by imad last updated on 30/Sep/18 | ||
$$\left.\mathrm{21}\right)\:{let}\:{S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}+{k}\:\lambda}{\left(\mathrm{1}+{n}\lambda\right)^{{k}} }\:\:\:{with}\:\lambda\:={ln}\left(\mathrm{10}\right) \\ $$$${S}_{{n}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\left(\mathrm{1}+{n}\lambda\right)^{{k}} }\:+\lambda\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:\:\frac{{k}}{\left(\mathrm{1}+{n}\lambda\right)^{{k}} }\:{but} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\upsilon}\right)^{{k}} \:\:=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{n}} \:=\left(\frac{{n}\lambda}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{n}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:{k}\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{k}} \:\:?\:\:{let}\:{find}\:\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \:{kx}^{{k}} \:\:\: \\ $$$${we}\:{have}\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}^{{k}} \:\:=\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{x}^{{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{{nx}^{{n}+\mathrm{1}} \:−\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{k}\:{x}^{{k}} \:=\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\:{nx}^{{n}+\mathrm{1}} \:−\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}} \:+\mathrm{1}\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:\:{C}_{{n}} ^{{k}} \:\:{k}\:\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{k}} \:=\:\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{n}\lambda\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\:{n}\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \:−\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{n}\lambda}\right)^{{n}} \:+\mathrm{1}\right\} \\ $$$${rest}\:{to}\:{finich}\:{the}\:{calculus}\:{this}\:{is}\:{the}\:{way}... \\ $$$$ \\ $$ | ||