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Question Number 130778 by EDWIN88 last updated on 28/Jan/21

∫ ((3x^2 −1)/(x^4 −1)) dx

$$\int\:\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}}\:{dx}\: \\ $$

Answered by bemath last updated on 29/Jan/21

((3x^2 −1)/((x^2 +1)(x^2 −1))) = ((3(x^2 −1)+2)/((x^2 +1)(x^2 −1))) I=∫ (3/(x^2 +1)) dx +∫ ((1/(x^2 −1))−(1/(x^2 +1)))dx I=3tan^(−1) (x)+(1/2)∫ ((1/(x−1))−(1/(x+1)))dx−tan^(−1) (x) I=2tan^(−1) (x)+(1/2)ln ∣((x−1)/(x+1))∣ + c

$$\:\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\:+\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{3tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{I}=\mathrm{2tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$

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