Question Number 200309 by sonukgindia last updated on 17/Nov/23 | ||
Answered by Mathspace last updated on 17/Nov/23 | ||
$${J}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{{dx}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{asinx}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \frac{{dx}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}\frac{{e}^{{ix}} −{e}^{−{ix}} }{\mathrm{2}{i}}+\mathrm{1}}\left({e}^{{ix}} ={z}\right) \\ $$$$=\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \frac{{dz}}{{iz}\left({a}^{\mathrm{2}} +{ia}\left({z}−{z}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \frac{−{idz}}{{a}^{\mathrm{2}} {z}+{iaz}^{\mathrm{2}} −{ia}\:+{z}} \\ $$$$=\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} \frac{−{idz}}{{iaz}^{\mathrm{2}} +\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){z}−{ia}} \\ $$$${f}\left({z}\right)=\frac{−{i}}{{iaz}^{\mathrm{2}} +\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right){z}−{ia}} \\ $$$${poles}\:{of}\:{f}? \\ $$$$\Delta=\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left({ia}\right)\left(−{ia}\right) \\ $$$$={a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} =\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${and}\:\sqrt{\Delta}=\mid{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\mid=\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} =\frac{−{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{ia}}=−\frac{\mathrm{1}}{{i}}{a} \\ $$$$={ia}\:\Rightarrow\mid{z}_{\mathrm{1}} \mid=\mid{a}\mid<\mathrm{1}\: \\ $$$${z}_{\mathrm{2}} =\frac{−{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{ia}}=−\frac{\mathrm{1}}{{ia}} \\ $$$$=\frac{{i}}{{a}}\:\Rightarrow\mid{z}_{\mathrm{2}} \mid=\frac{\mathrm{1}}{{a}}>\mathrm{1} \\ $$$${residus}\:{theorem}\:{give} \\ $$$$\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} {f}\left({z}\right){dz}=\mathrm{2}{i}\pi\:{Res}\left({f},{z}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$${Res}\left({f},{z}_{\mathrm{1}} \right)={lim}_{{z}\rightarrow{z}_{\mathrm{1}} } \:\left({z}−{z}_{\mathrm{1}} \right)\frac{−{ia}}{{ia}\left({z}−{z}_{\mathrm{1}} \right)\left({z}−{z}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{{z}_{\mathrm{1}} −{z}_{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{1}}{{ia}−\frac{{i}}{{a}}}=\frac{{i}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mid{z}\mid=\mathrm{1}} {f}\left({z}\right){dz}=\mathrm{2}{i}\pi.\frac{{i}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2}\pi}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }\:\:\Rightarrow \\ $$$$\bullet{J}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }\bullet \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by Frix last updated on 17/Nov/23 | ||
$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}\pi} {\int}}\frac{{dx}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{1}}= \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\mathrm{0}} {\overset{\pi} {\int}}\frac{{dx}}{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{1}}\:\overset{{t}=\frac{\mathrm{1}+{a}}{\mathrm{1}−{a}}\mathrm{tan}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}} {=} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} }\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$ | ||