Question Number 199719 by sonukgindia last updated on 08/Nov/23 | ||
Answered by witcher3 last updated on 08/Nov/23 | ||
$$\mathrm{I}_{\mathrm{a}} =\mathrm{I}_{\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{a}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}+\int_{\pi} ^{\mathrm{2}\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right. \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{b}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right.\right. \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}'\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{x}\right.\right.\right. \\ $$$$+\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \left(........\right)..\mathrm{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{x} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{e}^{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{e}^{−\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right. \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=\mathrm{I}_{\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{a}} =\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right.\right. \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\right. \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}\right)!}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}+\mathrm{4}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}\right)!}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{4A}+\mathrm{4B};\mathrm{A}=\mathrm{2}\pi\mathrm{J}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{1}\right).\mathrm{easy} \\ $$$$\mathrm{B}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{2n}−\mathrm{1}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{a}} \mathrm{dt}=\mathrm{E} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}\right)!}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{a}} \mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}\right)!}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{y}^{\mathrm{n}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{a}} \mathrm{dy} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{2n}\right)!}\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mathrm{J}_{\mathrm{m}} \left(\mathrm{z}\right)\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{z}^{\mathrm{2n}+\mathrm{m}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{m}} \left(\mathrm{n}\right)!\left(\mathrm{n}+\mathrm{m}\right)!};\mathrm{bassel}\:\mathrm{function} \\ $$$$=\frac{\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)!.\left(\mathrm{2n}\right)!}... \\ $$$$\left(\mathrm{2n}\right)!=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} .\mathrm{n}!.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2n}} .\mathrm{n}!.\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\Gamma\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\mathrm{E}=\frac{\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}.\sqrt{\pi}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2n}+\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} .\mathrm{n}!.\left(\mathrm{n}+\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \sqrt{\pi}\Gamma\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{B}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \sqrt{\pi}\Gamma\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{a}} =\mathrm{2}\pi\mathrm{J}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{1}\right)+\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \sqrt{\pi}\Gamma\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{J}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$ | ||