Question Number 197917 by sonukgindia last updated on 04/Oct/23 | ||
Commented by Frix last updated on 04/Oct/23 | ||
$$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{more}\:\mathrm{joy}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{2}^{\mathrm{nd}} \:\mathrm{one},\:\mathrm{the}\:\mathrm{1}^{\mathrm{st}} \:\mathrm{one} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{boring}. \\ $$ | ||
Answered by a.lgnaoui last updated on 06/Oct/23 | ||
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{a}\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}+\frac{\boldsymbol{\mathrm{bx}}^{\mathrm{4}} +\boldsymbol{\mathrm{cx}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{d}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{4}} −\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(−\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{d}+\mathrm{a}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{a}+\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{b}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}−\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{c}−\mathrm{a}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{c}}\:=\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{d}}=−\boldsymbol{\mathrm{a}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\: \\ $$$$\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}=\boldsymbol{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\boldsymbol{\mathrm{d}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}/\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}/\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{donc} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}−\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{U}=\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{dU}=\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{dU}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}= \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{U}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}}=\:\:\:\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+ \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$........................ \\ $$$$\: \\ $$ | ||
Commented by Frix last updated on 06/Oct/23 | ||
$${x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}=\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$ | ||