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Question Number 193247 by mokys last updated on 08/Jun/23

if f(x) = ((ax+1)/(x+b)) find f^( 100) (x) and f^(101) (x) ?

$${if}\:{f}\left({x}\right)\:=\:\frac{{ax}+\mathrm{1}}{{x}+{b}}\:{find}\:{f}^{\:\mathrm{100}} \left({x}\right)\:{and}\:{f}^{\mathrm{101}} \left({x}\right)\:? \\ $$

Answered by aba last updated on 08/Jun/23

f(x)=((ax+1)/(x+b))=a+((1−ab)/(x+b)) f^2 (x)=fof(x)=f(a+((1−ab)/(x+b)))=a+((1−ab)/(f(x)+b)) f^3 (x)=f^2 of(x)=f^2 (a+((1−ab)/(x+b)))=a+((1−ab)/(f(a+((1−ab)/(x+b)))+b))=a+((1−ab)/(a+((1−ab)/(f(x)+b))+b))=a+((1−ab)/(f^2 (x)+b)) f^k (x)=a+((1−ab)/(f^(k−1) (x)+b)), ∀ k≥2 ⇓ f^(100) (x)=a+((1−ab)/(f^(99) (x)+b)) f^(101) (x)=a+((1−ab)/(f^(100) (x)+b))

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}{o}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} {o}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{x}+\mathrm{b}}\right)+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}},\:\forall\:\mathrm{k}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\Downarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{100}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{99}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}}\: \\ $$$$\:\mathrm{f}^{\mathrm{101}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{100}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}} \\ $$

Answered by aba last updated on 09/Jun/23

f^k (x)=a+((1−ab)/(f^(k−1) (x)+b)), ∀k≥2 it is true for k=2. then assume true for k and prove that it is true for k+1 f^(k+1) (x)=f^k of(x)=f^k (f(x))=a+((1−ab)/(f^(k−1) (f(x))+b))=a+((1−ab)/(f^k (x)+b)) ∀k≥2 , f^k (x)=a+((1−ab)/(f^(k−1) (x)+b))

$$\mathrm{f}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}},\:\forall\mathrm{k}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}=\mathrm{2}.\:\mathrm{then}\:\mathrm{assume}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}\:\mathrm{and}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{for}\:\mathrm{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{f}^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{k}} {o}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)+\mathrm{b}}=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}} \\ $$$$\forall\mathrm{k}\geqslant\mathrm{2}\:,\:\mathrm{f}^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{ab}}{\mathrm{f}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}} \\ $$

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