Question Number 183844 by Michaelfaraday last updated on 30/Dec/22 | ||
Answered by MJS_new last updated on 31/Dec/22 | ||
$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{3}}}= \\ $$$$=\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}−\sqrt{{x}−\mathrm{3}}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{3}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}−}\sqrt{{x}−\mathrm{3}}\right)}{dx}= \\ $$$$=\int\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}{{x}+\mathrm{2}}{dx}−\int\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{3}}}{{x}+\mathrm{2}}{dx}= \\ $$$$\mathrm{with}\:{u}=\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:\mathrm{and}\:{v}=\sqrt{{x}−\mathrm{3}}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{get} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:−\mathrm{2}\sqrt{{x}−\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{arctan}\:\frac{\sqrt{{x}−\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\:+{C} \\ $$ | ||
Answered by MJS_new last updated on 31/Dec/22 | ||
$$\int\frac{{dx}}{\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:−\mathrm{5sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}=\int\frac{{dx}}{\mathrm{4}−\mathrm{9sin}^{\mathrm{2}} \:{x}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\int\frac{{dt}}{\mathrm{4}−\mathrm{5}{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{20}}\mathrm{ln}\:\frac{\sqrt{\mathrm{5}}{t}+\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}{t}−\mathrm{1}}\:= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{20}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{2cos}\:{x}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{sin}\:{x}\:−\mathrm{2cos}\:{x}}\mid\:+{C} \\ $$ | ||
Commented by Michaelfaraday last updated on 31/Dec/22 | ||
$${thanks}\:{sir} \\ $$ | ||