Question Number 182512 by mathlove last updated on 10/Dec/22 | ||
Answered by manxsol last updated on 10/Dec/22 | ||
$$\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$ | ||
Answered by manxsol last updated on 11/Dec/22 | ||
$${analisis}\:\:\:\:\mathrm{11}−\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} \rangle\mathrm{0}\Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} \langle\mathrm{5}.\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{0}\langle\:{x}\:\langle\sqrt{\mathrm{11}} \\ $$$$ \\ $$$${x}=\sqrt{\mathrm{11}−\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} =^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{17}−\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =^{\mathrm{4}} \sqrt{\mathrm{97}−\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}} } \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} =^{\mathrm{5}} \sqrt{\mathrm{1049}−\mathrm{5}{d}} \\ $$$$....=...... \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{11}−\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} =\mathrm{17}−\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} =\mathrm{97}−\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} =\mathrm{1048}−\mathrm{5}{a}_{\mathrm{4}} \\ $$$$.......................... \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} =\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{a}_{\mathrm{2}} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} =\mathrm{3}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{a}_{\mathrm{3}} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} =\mathrm{4}^{\mathrm{5}} +\mathrm{5}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{a}_{\mathrm{4}} \\ $$$$............................. \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−{a}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{3}−{a}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}^{\mathrm{4}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{4}−{a}_{\mathrm{3}} \right) \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} −\mathrm{4}^{\mathrm{5}} =\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−{a}_{\mathrm{4}} \right) \\ $$$$.......................... \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−{a}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\left({a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right){P}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}\left(\mathrm{3}−{a}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\left({a}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right){P}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{4}−{a}_{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\left({a}_{\mathrm{3}} −\mathrm{4}\right){P}_{\mathrm{3}} =\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−{a}_{\mathrm{4}} \right) \\ $$$${P}_{{n}} =\left[{a}_{{n}} ^{{n}+\mathrm{2}} −\left({n}+\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{2}} \right]/\left[{a}_{{n}} −\left({n}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$..................... \\ $$$${multiplication} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}\right){P}_{\mathrm{1}} {P}_{\mathrm{2}} {P}_{\mathrm{3}} ...=\mathrm{2}.\mathrm{3}.\mathrm{4}.\mathrm{5} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}=\frac{{n}!}{{P}_{\mathrm{1}} {P}_{\mathrm{2}} {P}_{\mathrm{3}......} } \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}+\frac{{n}!}{\coprod{Pn}} \\ $$$${n}\Rightarrow\infty\Rightarrow\frac{{n}!}{\coprod{P}_{{n}} }\Rightarrow\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\therefore{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\sqrt{\mathrm{7}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{x}=\sqrt{\mathrm{7}}\:\:\:{approves} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{initial}\:{condition} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$ | ||