Question Number 17867 by Mr easymsn last updated on 11/Jul/17 | ||
$${prove}\:{that}\:\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} {is}\:{an} \\ $$$${even}\:{integer}\:{and}\:{that}\:\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} −\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}{n}} ={w}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${for}\:{some}\:{integers}\:{w},{for}\:{all}\:{integer}\:{n}\geqslant\mathrm{1}. \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by alex041103 last updated on 11/Jul/17 | ||
$$\mathrm{We}\:\mathrm{expand}\:\mathrm{using} \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{n}}\\{\mathrm{k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:\mathrm{b}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{get} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \:+\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} = \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{k}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} \left[\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \right] \\ $$$$\mathrm{When}\:\mathrm{k}\equiv\mathrm{1}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{k}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} \left[\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \right]=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{That}'\mathrm{s}\:\mathrm{why}\:\mathrm{k}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod}\:\mathrm{2}\right)\: \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \:+\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} = \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{2k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2k}} \left(\mathrm{3}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2k}} ×\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{2k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2k}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{It}'\mathrm{s}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{2k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2k}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{k}} \:\in\:\mathbb{N} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{2}}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{same}\:\mathrm{procedure}\:\mathrm{works}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{next}\:\mathrm{statement} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \:−\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} = \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2n}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{k}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{k}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}} \left[\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{substitute}\:\mathrm{k}=\mathrm{2t}+\mathrm{1}\:\mathrm{and} \\ $$$$\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \:−\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} = \\ $$$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\:\:\:\:\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2k}} \left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{3}^{\mathrm{k}} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{3}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\begin{pmatrix}{\:\:\:\:\mathrm{2n}}\\{\:\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\mathrm{2}^{\mathrm{2n}−\mathrm{2k}} \mathrm{3}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} \:−\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2n}} =\mathrm{w}\sqrt{\mathrm{3}},\:\mathrm{w}\in\mathbb{N} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by alex041103 last updated on 12/Jul/17 | ||
$${Is}\:{there}\:{a}\:{problem},\:{sir}? \\ $$ | ||