Geometry Questions

Question Number 17580 by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 08/Jul/17

Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 08/Jul/17

$${triangle}\:{ABC},{is}\:{given}\:{with}: \\$$$${AB}={c},{BC}={a},{AC}={b} \\$$$${red}\:\:{lines},{are}\:{perpendicular}\:{bisectors} \\$$$${of}\:{sides}. \\$$$$\left.\mathrm{1}\right){find}\:{radius}\:{of}\:{a}\:{circle}\:{that}\:{passes} \\$$$${trough}\:{midpoints}\:{of}\:{red}\:\:{lines}. \\$$$$\left.\mathrm{2}\right){if}\:'{Z}',{be}\:{the}\:{center}\:{of}\:{this}\:{circle}, \\$$$${find}:\:\:{PZ}\:\left({in}\:{terms}\:{of}:\:{a},{b},{c}\right) \\$$$${trial}\:{case}: \\$$$${a}=\mathrm{15}.\mathrm{93},{b}=\mathrm{15}.\mathrm{76},{c}=\mathrm{12}.\mathrm{51} \\$$$$\Rightarrow{r}=\mathrm{2}.\mathrm{16}\:\:\:\:,{PZ}=\mathrm{0}.\mathrm{81}\:. \\$$

Commented by mrW1 last updated on 08/Jul/17

$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{r}=\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{4}\sqrt{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)}} \\$$$$\\$$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{d}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{6}} +\mathrm{b}^{\mathrm{6}} +\mathrm{c}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \right)−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \right)−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} \right)}}{\mathrm{4}\sqrt{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)}} \\$$

Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 08/Jul/17

$${very}\:{right}\:{answers}.{beautiful}\:{relations}. \\$$$${thank}\:{you}\:{master}. \\$$$${please}\:{post}\:{the}\:{solution},{if}\:{it}\:{possible}. \\$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{Part}\:\mathrm{1}: \\$$$$\\$$$$\Delta\mathrm{DGE}\sim\Delta\mathrm{ACB}\:\mathrm{with}\:\mathrm{side}\:\mathrm{length}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{1}:\mathrm{2} \\$$$$\Delta\mathrm{KIJ}\sim\Delta\mathrm{DGE}\:\mathrm{with}\:\mathrm{side}\:\mathrm{length}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{1}:\mathrm{2} \\$$$$\Rightarrow\Delta\mathrm{KIJ}\sim\Delta\mathrm{ACB}\:\mathrm{with}\:\mathrm{side}\:\mathrm{length}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{1}:\mathrm{4} \\$$$$\mathrm{let}\:\mathrm{r}=\mathrm{radius}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circumcircle}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{KIJ} \\$$$$\mathrm{let}\:\mathrm{R}=\mathrm{radius}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circumcircle}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{ABC} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{R} \\$$$$\\$$$$\mathrm{R}=\mathrm{PA}=\mathrm{PB}=\mathrm{PC} \\$$$$\mathrm{diameter}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circumcircle}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{2}\:\mathrm{A}_{\Delta\mathrm{ABC}} } \\$$$$\mathrm{R}=\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{4}\:\mathrm{A}_{\Delta\mathrm{ABC}} }=\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{s}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}−\mathrm{c}\right)}} \\$$$$=\frac{\mathrm{abc}}{\sqrt{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}} \\$$$$\\$$$$\Rightarrow\mathrm{r}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{R}=\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{4}\sqrt{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}} \\$$$$\\$$$$\\$$$$\mathrm{Part}\:\mathrm{2}:\: \\$$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}=\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:\mathrm{orthocenter}\:\left(\mathrm{H}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{circumcenter}\:\left(\mathrm{P}\right) \\$$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$=\frac{\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$=\frac{\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\left[\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{c}\right]\left[\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)−\mathrm{c}\right]\left[\mathrm{c}+\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\right]\left[\mathrm{c}−\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\right]\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\left[\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right]\left[\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \right]\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\left[\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab}\right]\left[\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\right]\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{9a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\left[\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right]\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\left[\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \right]}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5c}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\left[\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} −\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right]}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\left(−\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{a}^{\mathrm{6}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{4}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{4}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{6}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{4}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{6}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{6}} +\mathrm{b}^{\mathrm{6}} +\mathrm{c}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{b}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{6}} +\mathrm{b}^{\mathrm{6}} +\mathrm{c}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{b}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}} \\$$$$\\$$$$\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:\mathrm{nine}−\mathrm{point}−\mathrm{circle}\:\mathrm{center}\:\left(\mathrm{N}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{circumcenter}\:\left(\mathrm{P}\right) \\$$$$=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}} \\$$$$\\$$$$\mathrm{since}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{Z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{half}\:\mathrm{as}\:\mathrm{large}\:\mathrm{as}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{N}, \\$$$$\mathrm{point}\:\mathrm{Z}\:\mathrm{is}\:\mathrm{midpoint}\:\mathrm{between}\:\mathrm{nine}−\mathrm{point}−\mathrm{circle}\:\mathrm{center}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{circumcenter} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{6}} +\mathrm{b}^{\mathrm{6}} +\mathrm{c}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{b}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{4}\sqrt{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(−\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)}} \\$$

Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 08/Jul/17

$${thanks}\:{master}.{i}\:{am}\:{waiting}\:{for}\:{part}\mathrm{2}.... \\$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Jul/17

Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 09/Jul/17

$${waiting}\:{is}\:{over}. \\$$$${thank}\:{you}\:{very}\:{much}\:{dear}\:{master}. \\$$$${so}\:{beautiful}\:{and}\:{smart}. \\$$$${god}\:{blees}\:{you}\:{sir}.{thanks}\:{a}\:{lot}\:{again}. \\$$

Commented by mrW1 last updated on 09/Jul/17

$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}! \\$$