  Limits Questions

Question Number 173309 by mathlove last updated on 09/Jul/22 $$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{{x}} {x}−{ex}\right)=? \\$$

Answered by CElcedricjunior last updated on 12/Jul/22 $$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \boldsymbol{\mathrm{x}}−\boldsymbol{\mathrm{ex}}\right]=+\infty−\infty=\boldsymbol{\mathrm{FI}} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{posons}}\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\boldsymbol{\mathrm{X}}\Leftrightarrow\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{X}}} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{qd}}:\boldsymbol{\mathrm{x}}\rightarrow\infty;\boldsymbol{\mathrm{X}}\rightarrow\mathrm{0} \\$$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left[\frac{\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{X}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{X}}}} −\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\boldsymbol{\mathrm{X}}}\right]=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{X}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{X}}}} −\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\boldsymbol{\mathrm{X}}} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{dl}}\:\frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\mathrm{1}−\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}+\boldsymbol{\mathrm{X}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\xi}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right) \\$$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\boldsymbol{\xi}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{0} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{dl}}\:\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\boldsymbol{\mathrm{u}}} =\boldsymbol{\mathrm{e}}+\boldsymbol{\mathrm{e}}\left(\boldsymbol{\mathrm{u}}−\mathrm{1}\right)+\left(\boldsymbol{\mathrm{u}}−\mathrm{1}\right)\sigma\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right) \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{avec}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\sigma\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{0} \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}} =\boldsymbol{\mathrm{e}}+\boldsymbol{\mathrm{e}}\left(−\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}}{\mathrm{2}}\right)+\boldsymbol{\xi}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right) \\$$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\boldsymbol{\xi}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{0} \\$$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}} −\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}−\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}−\boldsymbol{\mathrm{e}}+\boldsymbol{\xi}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\$$$$\:\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}−\frac{\boldsymbol{\mathrm{ex}}}{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\$$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}} \\$$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \boldsymbol{\mathrm{x}}−\boldsymbol{\mathrm{xe}}\right]=−\frac{\boldsymbol{\mathrm{e}}}{\mathrm{2}} \\$$$$\: \\$$$$\:..........{le}\:{c}\acute {{e}l}\grave {{e}bre}\:{cedric}\:{junior}............ \\$$

Commented by mathlove last updated on 13/Jul/22 $${a}\:{lot}\:{thanks} \\$$

Answered by mr W last updated on 09/Jul/22 $$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{{x}} −{e}\right]{x} \\$$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} −{e}}{{x}} \\$$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{e}−\frac{{ex}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{11}{ex}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}+{o}\left({x}^{\mathrm{3}} \right)−{e}}{{x}} \\$$$$=−\frac{{e}}{\mathrm{2}}\:\checkmark \\$$

Commented by mathlove last updated on 10/Jul/22 $${thanks}\:{mr}\:{W} \\$$

Commented by Tawa11 last updated on 11/Jul/22 $$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\$$