Question Number 167879 by mnjuly1970 last updated on 28/Mar/22 | ||
$$ \\ $$$$\:\:\:\:{solve}\:{in}\:\:\mathbb{R} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\sqrt{{x}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{5}}\:+\:\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\:\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{8}}\:=\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−−−−− \\ $$ | ||
Commented by cortano1 last updated on 28/Mar/22 | ||
$$\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}=\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right) \\ $$$$\:{let}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}={u} \\ $$$$\:\sqrt{{u}+\mathrm{1}}\:+\sqrt{\mathrm{2}{u}}\:=\:\mathrm{7} \\ $$$$\:\mathrm{2}{u}\:=\:\mathrm{49}+{u}+\mathrm{1}−\mathrm{14}\sqrt{{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:{u}−\mathrm{50}\:=\:−\mathrm{14}\sqrt{{u}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{196}{u}+\mathrm{196}=\:{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{100}{u}+\mathrm{250} \\ $$$$\:{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{296}{u}+\mathrm{250}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{{u}=\mathrm{148}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\\{{u}=\mathrm{148}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{148}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\\{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{148}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2406}}}\end{cases} \\ $$ | ||
Answered by MJS_new last updated on 28/Mar/22 | ||
$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$${t}={x}−\mathrm{1} \\ $$$$\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}+\sqrt{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\left(\mathrm{beware}\:\mathrm{of}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right)\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}\sqrt{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}=\mathrm{3}\left(\mathrm{13}−{t}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\left(\mathrm{beware}\:\mathrm{of}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right)\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$${t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{290}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1425}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{285}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\pm\sqrt{\mathrm{285}}\vee{t}=\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{solutions}\:\Rightarrow \\ $$$${t}=\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 28/Mar/22 | ||
$${bravo}\:\:{bravo}\:{master}... \\ $$ | ||
Answered by nurtani last updated on 28/Mar/22 | ||
$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{8}}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\:\alpha \\ $$$$\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\left(\alpha−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}=\mathrm{7} \\ $$$$\left(\sqrt{\alpha}−\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\alpha}\centerdot\sqrt{\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}}+\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}=\mathrm{49} \\ $$$$\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\alpha\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}\right)}+\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}=\mathrm{49} \\ $$$$\mathrm{3}\alpha−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha}=\mathrm{51} \\ $$$$\mathrm{3}\alpha−\mathrm{51}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\alpha−\mathrm{51}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{9}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{306}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\alpha\right) \\ $$$$\mathrm{9}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{306}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{8}\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}\alpha \\ $$$$\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{298}\alpha+\mathrm{2601}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\alpha−\mathrm{289}\right)\left(\alpha−\mathrm{9}\right)=\mathrm{0}\:\begin{cases}{\alpha=\mathrm{289}}\\{\alpha=\mathrm{9}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{289}\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{284}=\mathrm{0\begin{cases}{{x}_{\mathrm{1}} =\sqrt{\mathrm{285}}+\mathrm{1}}\\{{x}_{\mathrm{2}} =−\sqrt{\mathrm{285}}+\mathrm{1}}\end{cases}}}\\{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{9}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}=\mathrm{0\begin{cases}{{x}_{\mathrm{3}} =\:\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}\\{{x}_{\mathrm{4}} =−\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}\end{cases}}}\end{cases} \\ $$ | ||