Question Number 167593 by cortano1 last updated on 20/Mar/22 | ||
Answered by qaz last updated on 20/Mar/22 | ||
$$\mathrm{A}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{17}−\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\centerdot\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}}−\mathrm{9}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}}\centerdot\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{18x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{36x}+\mathrm{27}}−\mathrm{9}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\centerdot\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\centerdot\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\left[\frac{−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}+\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{28}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{27}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}\right] \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\centerdot\left(\frac{−\mathrm{4}−\mathrm{2x}}{\mathrm{9}−\mathrm{8x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{12}+\mathrm{12x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{27}+\mathrm{36x}+\mathrm{28x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(−\mathrm{4}−\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{27}+\mathrm{36x}+\mathrm{28x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} \right)+\left(\mathrm{12}+\mathrm{12x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{9}−\mathrm{8x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{2x}\left(\mathrm{9}−\mathrm{8x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{27}+\mathrm{36x}+\mathrm{28x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} \right)} \\ $$$$=\mathrm{9}\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\left(−\mathrm{4}\centerdot\mathrm{36}−\mathrm{2}\centerdot\mathrm{27}+\mathrm{12}\centerdot\mathrm{9}−\mathrm{12}\centerdot\mathrm{8}\right)\mathrm{x}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{9}\centerdot\mathrm{27x}+\mathrm{o}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{9}} \\ $$ | ||
Answered by cortano1 last updated on 20/Mar/22 | ||
$$\:\mathrm{A}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{17}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\mathrm{81}}{\left[\sqrt{\mathrm{17}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}}\:+\mathrm{9}\:\right]\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\mathrm{A}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{4x}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\left(\mathrm{17}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)\frac{\mathrm{2}.\left(\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{3}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\left(\mathrm{17}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}}}\:−\mathrm{4x}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\mathrm{A}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{17}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{3x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{108}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{102x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{12x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\:\mathrm{A}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{108}}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{204x}−\mathrm{96x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{12}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\mathrm{A}=\:\frac{\mathrm{408}−\mathrm{768}−\mathrm{12}}{\mathrm{108}}\:=\:−\:\frac{\mathrm{31}}{\mathrm{9}} \\ $$ | ||