Question Number 166180 by mnjuly1970 last updated on 15/Feb/22 | ||
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{prove}\:\:{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\:\right)}{{x}^{\:\mathrm{2}} }\:{dx}\:=\:\mathrm{2}\:\zeta\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−−−{proof}−−− \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\:\left[\frac{−\mathrm{1}}{{x}}\:{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\:\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=−{lim}_{\:\xi\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \frac{\mathrm{1}}{\xi}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\xi\right)−\mathrm{2}\left\{\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{\mathrm{1}−{x}}{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}{dx}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:−{lim}_{\:\xi\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \left\{\frac{\mathrm{1}}{\xi}{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\xi\right)+{ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\:−\xi\right)\right\}+\mathrm{2}\:\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:={lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{1}^{−} } \left(\frac{\xi−\mathrm{1}}{\xi}\right){ln}^{\:\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\xi\right)\:+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\underset{\xi\rightarrow\mathrm{1}^{−} \:,\:\delta\rightarrow\mathrm{0}^{\:+} } {\overset{\mathrm{1}−\xi=\:\delta} {=}}\left[{lim}_{\:\delta\rightarrow\mathrm{0}^{\:+} } \left(\frac{−\delta}{\mathrm{1}−\delta}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left(\delta\right)=\mathrm{0}\right]\:+\mathrm{2}\zeta\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\:\blacksquare\:{m}.{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\:\:\boldsymbol{\phi}\:=\:\mathrm{2}\:\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$ | ||